[논문 리뷰] WSLD operators: A class of fourth order difference approximations for space Riemann-Liouville derivative

Minghua Chen, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 28.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 공간 리만-리오빌 분수계 도함수를 근사하기 위한 새로운 종류의 네 번째 차수 유한차분 스킴인 가중치 및 이동된 루비치 차분(WSLD) 연산자를 소개한다. 루비치의 컨볼루션 퀼리처 프레임워크를 가중치와 이동 계수로 수정함으로써, 이 방법은 계산 효율성을 유지하면서도 공간에서 네 번째 차수 정확도를 달성한다. 이론적으로 무조건 안정성이 입증되었으며, 전역 절단 오차는 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$로 확인되었으며, 1차원 및 2차원 변수 계수 분수계 확산 방정식에 대해 수치적으로 검증되었다.

ABSTRACT

Because of the nonlocal properties of fractional operators, higher order schemes play more important role in discretizing fractional derivatives than classical ones. The striking feature is that higher order schemes of fractional derivatives can keep the same computation cost with first-order schemes but greatly improve the accuracy. Nowadays, there are already two types of second order discretization schemes for space fractional derivatives: the first type is given and discussed in [Sousa & Li, arXiv:1109.2345; Chen & Deng, arXiv:1304.3788; Chen et al., Appl. Numer. Math., 70, 22-41]; and the second type is a class of schemes presented in [Tian et al., arXiv:1201.5949]. The core object of this paper is to derive a class of fourth order approximations, called the weighted and shifted Lubich difference (WSLD) operators, for space fractional derivatives. Then we use the derived schemes to solve the space fractional diffusion equation with variable coefficients in one-dimensional and two-dimensional cases. And the unconditional stability and the convergence with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+h^4)$ are theoretically proved and numerically verified.

연구 동기 및 목표

• 비국소적이며 정확하게 이산화하기 어려운 공간 분수도함수를 위한 고차수, 안정적이고 효율적인 수치 스킴을 개발하는 것.
• 기존의 두 번째 차수 스킴(예: WSGD 및 조각별 선형 근사와 함께 중심 차분)을 계산 비용을 늘리지 않고 네 번째 차수 정확도로 확장하는 것.
• 변수 계수 분수계 확산 방정식에 대해 안정성과 고정확도를 유지하는 가중치 및 이동된 루비치 차분(WSLD) 연산자 클래스를 구성하는 것.
• 제안된 스킴의 무조건 안정성과 수렴성을 엄밀히 증명하고 전역 절단 오차 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$를 도출하는 것.
• 1차원 및 2차원 문제에서 수렴 속도와 안정성에 대한 이론적 결과를 수치적으로 검증하는 것.

제안 방법

• WSLD 연산자는 분수도함수에 대한 루비치의 $L$-번째 차수 컨볼루션 퀸트레이처 공식의 계수에 가중치와 이동을 적용하여 유도된다.
• 기본 차분 스킴을 정의하기 위해 생성 함수 $\delta^\alpha(\zeta) = \left(\sum_{i=1}^L \frac{1}{i}(1 - \zeta)^i\right)^\alpha$ 를 사용하며, $L=4$ 일 때 네 번째 차수 정확도를 얻는다.
• 시간 이산화에 크랭크-니콜슨 유사 방법을 사용하여 시간 방향으로 두 번째 차수 정확도를 확보하고, 변수 계수를 가진 공간 분수계 확산 방정식에 적용한다.
• 스펙트럼 분석을 통해 안정성을 증명하였으며, 시스템 행렬의 역행렬의 2노름이 1보다 작다는 것을 보여 무조건 안정성을 확보한다.
• 테일러 전개와 분수계 미적분학을 활용한 절단 오차 분석을 통해 전역 오차 한계 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$를 도출한다.
• 수치 실험에서는 정확한 해가 존재하는 1차원 및 2차원 영역에서 최대 오차와 수렴 속도를 $l_\infty$ 노름으로 측정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리오빌 분수계 도함수의 공간에서 네 번째 차수 정확도를 갖는 안정적이고 효율적인 유한차분 스킴을 도출할 수 있는가?
• RQ2 가중치 및 이동된 루비치 차분(WSLD) 연산자가 저차수 스킴보다 정확도를 향상시키면서도 무조건 안정성을 유지하는가?
• RQ3 변수 계수 공간 분수계 확산 방정식에 적용했을 때 WSLD 스킴의 전역 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 첫 번째 차수 스킴과 동일한 계산 비용을 유지하면서도 정확도를 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 비균일 계수를 가진 다차원 문제에서 WSLD 연산자는 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• WSLD 연산자는 네 번째 차수 공간 정확도를 달성하며, 전역 절단 오차가 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^4)$로 이론적으로도 수치적으로도 확인되었다.
• 1차원 문제에 대한 수치 결과는 $h=1/10$에서 $h=1/60$까지 약 3.7–4.0의 수렴 속도를 보이며 공간에서 네 번째 차수 수렴을 확인한다.
• 2차원 문제에서는 3.5–4.0의 수렴 속도가 관측되어 WSLD 스킴의 공간 수렴 속도가 $\mathcal{O}(h^4)$임을 검증한다.
• 스펙트럼 노름이 시스템 행렬의 역행렬에 대해 유계이므로 안정성이 유지되며, 시간 단계에 관계없이 안정성이 보장된다.
• 시스템 행렬의 토플리츠 유사한 구조 덕분에 계산 비용이 첫 번째 차수 스킴과 유사하며, FFT 기반 방법을 통해 효율적으로 해를 구할 수 있다.
• 정확한 해를 사용하여 1차원 및 2차원 분수계 확산 방정식의 변수 계수 문제를 성공적으로 처리하였으며, 정확도와 수렴성을 검증하였다.