[논문 리뷰] XFT: Extending the Digital Application of the Fourier Transform

Rafael G. Campos, J. Rico-Melgoza외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 04.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허미트 다항식 기반 가우시안 구적법과 코일-FFT-코일 과정에 등가되는 대각선 동치 변환을 사용하여 분수 포아송 변환의 빠르고 폐쇄형 이산화인 XFT를 소개한다. 이는 단위 원 내 임의의 복소수 값으로 분수 포아송 변환을 확장하고, z = i에서 표준 FFT보다 더 높은 정확도로 이산 푸리에 변환 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In recent years there has been a growing interest in the fractional Fourier transform driven by its great number of applications. The literature in this field follows two main routes. On the one hand the applications fields where the ordinary Fourier transform can be applied are being revisited to use this intermediate time-frequency representation of signals; and on the other hand fast algorithms for numerical computation of the fractional Fourier transform are devised. In this paper we derive a Gaussian-like quadrature of the continuous fractional Fourier transform. This quadrature is given in terms of the Hermite polynomials and their zeros. By using some asymptotic formulae we are able to solve the quadrature by a diagonal congruence transformation equivalent to a chirp-FFTchirp transformation, yielding a fast discretization of the fractional Fourier transform and its inverse in closed form. We extend the range of the fractional Fourier transform by considering arbitrary complex values inside the unitary circle and not only at the boundary. Interestingly enough, the congruence transformation evaluated at z = i, which gives the Fourier transform, improves the standard discrete Fourier transform, yielding a new method to compute a more accurate FFT.

연구 동기 및 목표

• 더 넓은 적용을 위해 연속 분수 포아송 변환에 대한 빠르고 수치적으로 안정적인 이산화 방법을 개발하기 위해.
• 분수 포아송 변환의 정의역을 단위 원 경계를 초월하여 단위 원 내 임의의 복소수 값까지 확장하기 위해.
• 특수한 동치 변환을 통해 z = i 경우의 분수 변환 재해석을 통해 표준 이산 푸리에 변환의 정확도를 향상시키기 위해.
• 분수 포아송 변환과 그 역변환에 대해 폐쇄형이고 계산적으로 효율적인 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 허미트 다항식과 그 근을 사용하여 연속 분수 포아송 변환에 대한 가우시안 유사 구적법을 유도한다.
• 점근 공식을 적용하여 구적법을 코일-FFT-코일 과정에 등가되는 대각선 동치 변환으로 변환한다.
• 유도된 변환을 통해 분수 포아송 변환과 그 역변환에 대한 빠르고 폐쇄형 이산화를 달성한다.
• 변환의 정의역을 단위 원 경계가 아닌 내부의 임의의 복소수 값까지 확장한다.
• 허미트 함수의 구조와 그 수직성 특성을 활용하여 수치적 안정성과 계산 효율성을 보장한다.
• 변환의 성질을 유지하면서도 빠른 계산을 가능하게 하는 행렬 동치 변환을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규직교 다항식을 사용하여 연속 분수 포아송 변환을 효율적이고 정확하게 이산화할 수 있는가?
• RQ2 분수 포아송 변환의 범위를 단위 원 경계를 초월하여 단위 원 내 임의의 복소수 값을 포함하도록 확장할 수 있는가?
• RQ3 분수 포아송 변환을 코일-FFT-코일 변환으로 표현함으로써 얻는 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법은 z = i에서 표준 이산 푸리에 변환의 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 허미트 다항식과 그 근은 분수 포아송 변환에 대한 안정적이고 빠른 구적법을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 코일-FFT-코일에 등가되는 변환을 통해 분수 포아송 변환의 빠르고 폐쇄형 이산화를 달성한다.
• 구적법은 허미트 다항식과 그 근에 기반하여 높은 수치적 정확도를 보장한다.
• 이 방법은 분수 포아송 변환을 단위 원 경계가 아닌 내부의 임의의 복소수 값까지 성공적으로 확장한다.
• z = i에서 이 변환은 표준 FFT보다 더 정확한 이산 푸리에 변환을 도출한다.
• 대각선 동치 변환은 낮은 수치적 오차로 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 허미트 함수에 대한 점근 공식을 통해 반복 보정 없이도 안정적이고 빠른 알고리즘을 유도할 수 있다.