[논문 리뷰] Yang-Mills-Higgs theory for symplectic fibrations

Ignasi Mundet i Riera|ArXiv.org|1999. 12. 18.

Geometry and complex manifolds인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 해밀토니안 $S^1$-행동을 가진 심플렉틱 다양체에 대해 양-밀스-하이그스 이론의 통합 프레임워크를 제안하며, 바이러스 방정정식과 헬로모르피크 곡선 이론을 일반화한다. 히치닌-코바야시 대응을 수립하고, 소볼레프 완비화를 통해 부드러운 모듈리 공간을 구성하며, 그로모프의 것과 유사한 컴팩트리피케이션을 제공하고, 심플렉틱 다양체에 대해 해밀토니안 $S^1$-행동을 가진 불변량을 정의한다.

ABSTRACT

Our aim in this work is to study a system of equations which generalises at the same time the vortex equations of Yang-Mills-Higgs theory and the holomorphicity equation in Gromov theory of pseudoholomorphic curves. We extend some results and definitions from both theories to a common setting. We introduce a functional generalising Yang-Mills-Higgs functional, whose minima coincide with the solutions to our equations. We prove a Hitchin-Kobayashi correspondence allowing to study the solutions of the equations in the Kaehler case. We give a structure of smooth manifold to the set of (gauge equivalence classes of) solutions to (a perturbation of) the equations (the so-called moduli space). We give a compactification of the moduli space, generalising Gromov's compactification of the moduli of holomorphic curves. Finally, we use the moduli space to define (under certain conditions) invariants of compact symplectic manifolds with a Hamiltonian almost free action of S^1. These invariants generalise Gromov-Witten invariants. This is the author's Ph.D. Thesis. A chapter of it is contained in the paper math.DG/9901076. After submitting his thesis in April 1999, the author knew that K. Cieliebak, A. R. Gaio and D. Salamon had also arrived (from a different point of view) at the same equations, and had developed a very similar programme (see math.SG/9909122).

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 피브레이션에서 양-밀스-하이그스 이론과 헬로모르피크 곡선 이론을 통합된 프레임워크로 일반화하기.
• 바이러스 방정식과 해석적 조건을 통합하는 방정식계를 해결하는 최소값을 갖는 양-밀스-하이그스 함수를 정의하기.
• 카이러 설정에서 안정한 쌍에 대한 히치닌-코바야시 대응을 수립하기.
• 소볼레프 완비화와 게이지 이론 기법을 사용하여 해의 게이지 동치류의 부드러운 모듈리 공간을 구성하기.
• 헬로모르피크 곡선의 그로모프 컴팩트리피케이션과 유사한 모듈리 공간의 컴팩트리피케이션 제공하기.

제안 방법

• 기저 군 $K$의 주다발 $E$ 위의 접속 $A$와 관련 피브레이션 $\mathcal{F} = E \times_K F$의 단면 $\Phi$를 연결하는 방정식계를 도입한다.
• $\mathcal{A} \times \mathcal{S}$ 위에 양-밀스-하이그스 함수를 정의하며, 그 임계점은 방정식의 해와 일치한다.
• 해의 존재성을 쌍 $(E, \Phi)$의 안정성 조건과 연결함으로써 히치닌-코바야시 대응을 적용한다.
• 소볼레프 완비화를 통해 게이지 동치류의 해의 모듈리 공간이 부드러운 다양체의 구조를 갖도록 한다.
• 정규성과 특이점 제거 기법을 포함한 그로모프 유형 기법을 적용하여 모듈리 공간의 컴팩트리피케이션을 구성한다.
• 해밀토니안 $S^1$-행동 하에서의 콘두 $\sigma$-THC(왜곡된 해석적 곡선)의 모듈리 공간을 통해 불변량 $\Phi$와 $\overline{\Phi}$를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀토니안 군 작용을 가진 심플렉틱 피브레이션으로 양-밀스-하이그스 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ2 이 일반화된 설정에서 쌍 $(E, \Phi)$에 대해 히치닌-코바야시 대응이 성립하는가?
• RQ3 게이지 이론적 방법을 통해 해의 모듈리 공간에 부드러운 다양체의 구조를 줄 수 있는가?
• RQ4 헬로모르피크 곡선의 그로모프 컴팩트리피케이션과 유사한 모듈리 공간의 컴팩트리피케이션이 존재하는가?
• RQ5 이 모듈리 공간을 사용하여 해밀토니안 $S^1$-행동을 가진 컴팩트 심플렉틱 다양체에 대해 불변량을 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 양-밀스-하이그스 방정식과 헬로모르피크 곡선 방정식을 일반화하는 새로운 방정식계가 도입된다.
• 양-밀스-하이그스 함수는 $\mathcal{A} \times \mathcal{S}$ 위에 정의되며, 그 임계점은 방정식의 해와 정확히 일치한다.
• 히치닌-코바야시 대응이 증명되며, 쌍 $(E, \Phi)$의 안정성 조건과 해의 존재성을 연결한다.
• 소볼레프 완비화와 전치성에 의해 반자기 $S^1$-행동 하에서 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{\sigma}^{F,S^1}(B,c)$ 가 부드러운 다양체임을 보였다.
• 정규성, 특이점 제거 및 등변 그로모프-슈바르츠 보조정리 등을 적용하여 모듈리 공간의 컴팩트리피케이션을 구성하였다.
• 해밀토니안 $S^1$-행동을 가진 심플렉틱 다양체에 대해 콘두 $\sigma$-THC의 모듈리 공간을 사용하여 불변량 $\Phi$와 $\overline{\Phi}$를 정의하였다.