[논문 리뷰] Yet More Smooth Mapping Spaces and Their Smoothly Local Properties

Andrew Stacey|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매핑 공간 위의 매끄러운 다양체 구조를 일반화하기 위해 '매끄럽게 국소적인 성질들(smoothly local properties)'의 개념을 도입한다. 표적 공간을 따라 국소 구조(예: 차트 또는 국소 덧셈)가 매끄럽게 변하도록 보장함으로써, $M$이 유한차원 다양체이고 $S$가 약간의 해석 조건을 만족하는 프뢰리히어 공간일 때조차도 매핑 공간 $C^\infty(S, M)$가 매끄러운 다양체 구조를 상속할 수 있는 조건을 설정한다. 주요 결과는 이러한 매핑 공간이 그들의 운동학적 탄젠트 공간을 국소 모델로 하여 매끄러운 다양체가 되며, 원래의 사상이 정규적일 경우 매핑 공간 간의 유도된 사상도 정규적임을 보여준다.

ABSTRACT

Motivated by the definition of the smooth manifold structure on a suitable mapping space, we consider the general problem of how to transfer local properties from a smooth space to an associated mapping space. This leads to the notion of smoothly local properties. In realising the definition of a local property at a particular point it may be that there are choices that need to be made. To say that the local property is smoothly local is to say that those choices can be made smoothly dependent on the point. In particular, that a manifold has charts is a local property. A local addition is the structure needed to say that there is a way to choose a chart about each point so that it varies smoothly with that point. To be able to extend these ideas beyond that of the local additivity of manifolds we work in a category of generalised smooth spaces. We are thus are able to consider more general mapping spaces than just those arising from the maps from one smooth manifold to another and thus able to generalise the standard result on when this space of maps is again a smooth manifold. As applications of this generalisation we show that the mapping spaces involving the various figure 8s from String Topology are manifolds, and that they embed as submanifolds with tubular neighbourhoods in the corresponding loop spaces. We also show that applying the mapping space functor to a regular map of manifolds produces a regular map on the mapping spaces.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 유한차원 다양체를 초월하여 매핑 공간 위의 매끄러운 다양체 구조를 일반화하기 위해.
• 공간 $X$ 위의 국소 구조가 $X$를 따라 매끄럽게 변할 수 있도록 선택될 수 있다는 아이디어를 형식화하여 '매끄럽게 국소적인 성질'의 개념을 도입하기 위해.
• 만일 $M$과 $N$이 유한차원 다양체이고 $N$이 컴act일 경우 $C^\infty(N,M)$가 매끄러운 다양체가 되는 표준 결과를 확장하기 위해.
• 스트링 토폴로지에서 유래한 도형 8자 그래프를 포함하는 매핑 공간이 루프 공간 내에서 매끄러운 다양체이자 튜브근접근을 갖는다는 것을 보여주기 위해.
• 매핑 공간 함자(functor)가 다양체 간의 매끄러운 사상의 정규성을 유지하는지 증명하기 위해.

제안 방법

• 공간 $X$ 위의 국소 구조가 $X$를 따라 매끄럽게 매개변수화될 수 있도록 선택될 수 있는 성질을 '매끄럽게 국소적인 성질'로 정의하며, 국소 덧셈의 개념을 일반화한다.
• 일반화된 매끄러운 공간의 범주(특히 프뢰리히어 공간)에서 작업하여 다양체를 초월한 광범위한 적용 가능성을 확보한다.
• 기능적 위상수학과 페르마 공간을 사용하여 매핑 공간 위의 탄젠트 구조를 정의하고 분석한다.
• 적절한 조건 하에서 운동학적 탄젠트 공간 $T C^\infty(S,X)$가 $C^\infty(S, T X)$와 자연스럽게 위상동형임을 증명한다.
• $X$가 매끄럽게 국소적으로 운동학적일 경우 $C^\infty(S,X)$가 이 성질을 상속함을 증명하여 다양체 구조의 구성이 가능함을 보장한다.
• 이 이론을 적용하여 $M$이 유한차원 매끄러운 다양체이고 $S$가 $(-1,1)$ 내에서 컴팩트한 초월함수를 갖는 비영함수를 가질 경우 $C^\infty(S,M)$가 매끄러운 다양체가 됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 매끄러운 공간 $X$ 위의 국소 성질이 매핑 공간 $C^\infty(S,X)$로 매끄럽게 연장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 매끄러운 공간 간의 매끄러운 사상 공간 $C^\infty(S,M)$가 매끄러운 다양체가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 매끄러운 공간의 범주에서 국소 덧셈의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 매핑 공간 $C^\infty(S,X)$의 탄젠트 공간이 $C^\infty(S, T X)$와 자연스럽게 위상동형이 되도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 매핑 공간 함자가 다양체 간의 매끄러운 사상의 정규성을 유지하는가?

주요 결과

• $M$이 유한차원 매끄러운 다양체이고 $S$가 $(-1,1)$ 내에서 컴팩트한 초월함수를 갖는 비영함수를 가질 경우, 매핑 공간 $C^\infty(S,M)$는 매끄러운 다양체이며, 이 구조는 그 운동학적 탄젠트 공간을 국소 모델로 한다.
• $M$이 유한차원 다양체이고 $S$가 매끄럽게 $\mathfrak{T}_{\text{Frob}}$-콤팩트일 경우, 공간 $C^\infty(S,M)$는 매끄럽게 국소적으로 운동학적 성질을 갖는다. 이는 탄젠트 구조의 호환성을 보장한다.
• $X$가 매끄럽게 국소적으로 운동학적 공간일 경우, 탄젠트 공간 $T C^\infty(S,X)$는 $C^\infty(S, T X)$와 자연스럽게 위상동형이 된다. 이는 다양체 구조의 구성에 있어 핵심적이다.
• $M$이 스트링 토폴로지에서 유래한 도형 8자 그래프를 포함할 경우, 매핑 공간 $C^\infty(S,M)$는 해당 루프 공간 내에서 부분다양체이자 튜브근접접근을 갖는다.
• $f: M \to N$이 유한차원 다양체 간의 정규 매끄러운 사상일 경우, 유도된 사상 $C^\infty(S,f): C^\infty(S,M) \to C^\infty(S,N)$ 역시 정규적이다.
• 목표 공간 $M$이 매끄럽게 국소적인 구조를 갖는다면, $N$이 유한차원 다양체일 경우 $C^\infty(N,M)$ 위의 차트 구성 방법이 임의의 프뢰리히어 공간 $S$로 일반화된다.