[논문 리뷰] Yetter-Drinfeld modules over weak Hopf algebras and the center construction

S. Caenepeel, Dingguo Wang외 1명|ArXiv.org|2004. 09. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 약한 호프 대수 위의 야터-드린펠트 모듈이, 대수가 유한 생성 및 자유 모듈일 경우, 브라운드 모노이드 카테고리로서 모듈 카테고리의 중심과 드린펠트 듀얼의 모듈 카테고리와 동형임을 확립한다. 이는 이중성과 엔트윙잉 구조를 사용하여 고전적 결과를 약한 이중대수로 확장하며, 야터-드린펠트 모듈이 약한 도이-호프 및 약한 엔트윙잉 모듈임을 보이고, 특히 유한 생성 자유 모듈의 경우 이중성의 성립을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce Yetter-Drinfeld modules over a weak Hopf algebra $H$, and show that the category of Yetter-Drinfeld modules is isomorphic to the center of the category of $H$-modules. The categories of left-left, left-right, right-left and right-right Yetter-Drinfeld modules are isomorphic as braided monoidal categories. Yetter-Drinfeld modules can be viewed as weak Doi-Hopf modules, and, a fortiori, as weak entwined modules. If $H$ is finitely generated and projective, then we introduce the Drinfeld double using duality results between entwining structures and smash product structures, and show that the category of Yetter-Drinfeld modules is isomorphic to the category of modules over the Drinfeld double.

연구 동기 및 목표

• 고전적 호프 대수에서의 야터-드린펠트 모듈 이론을 가환환 위의 약한 호프 대수로 일반화하는 것.
• 약한 호프 대수 H에 대해 왼쪽-왼쪽, 왼쪽-오른쪽, 오른쪽-왼쪽, 오른쪽-오른쪽의 네 종류의 야터-드린펠트 모듈 카테고리가 브라운드 모노이드 카테고리로서 동형임을 보이는 것.
• 약한 호프 대수 위의 야터-드린펠트 모듈이 약한 도이-호프 모듈 및 약한 엔트윙잉 모듈임을 확립하여 드린펠트 듀얼의 새로운 구성법을 가능하게 하는 것.
• 약한 호프 대수 위의 유한 생성 자유 야터-드린펠트 모듈 카테고리가 이중성 구조를 갖는다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 약한 중심 구조를 사용하여 약한 이중대수 H 위의 모듈 카테고리의 약한 중심과 야터-드린펠트 모듈 카테고리의 동형성을 보이는 것.
• 엔트윙잉 구조와 스매시 프로덕트 구조 사이의 이중성 결과를 적용하여 드린펠트 듀얼을 H와 그 이중 H*의 약한 스매시 프로덕트로 정의하는 것.
• 유도된 드린펠트 듀얼이 [1,16]의 드린펠트 듀얼과 동형이며, [17]의 것과 반대 동형임을 구조적 동형사상으로 증명하는 것.
• H의 목표 공간 H_t 위에서 H에 대한 이중대수 구조를 사용하여 야터-드린펠트 모듈을 이중대수 프레임워크로 재해석하고, 표준 정의와의 동치성을 보이는 것.
• 카테고리 ({}_{H}\mathcal{M}, \otimes_{t}, H_{t})와 ({}_{H}\mathcal{M}, \otimes_{H_{t}}, H_{t}) 사이의 모노이드 카테고리 동형성을 활용하여, 이들의 약한 왼쪽 중심을 동일시하고, 이에 따라 야터-드린펠트 모듈 카테고리도 동치임을 보이는 것.
• 표준 사상 can: H⊗H → H⊗_{H_t}H를 사용하여 이중대수 프레임워크에서 야터-드린펠트 호환 조건을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 호프 대수 위의 왼쪽-왼쪽, 왼쪽-오른쪽, 오른쪽-왼쪽, 오른쪽-오른쪽 야터-드린펠트 모듈 카테고리 간의 브라운드 모노이드 동치성은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 엔트윙잉과 스매시 프로덕트 구조 간의 이중성에 기반해, 유한 생성 및 자유인 약한 호프 대수의 드린펠트 듀얼을 재구성할 수 있는가?
• RQ3 약한 호프 대수 위의 야터-드린펠트 모듈은 약한 도이-호프 모듈 또는 약한 엔트윙잉 모듈과 동치인가?
• RQ4 약한 호프 대수 위의 유한 생성 자유 야터-드린펠트 모듈 카테고리는 이중성 구조를 갖는가?
• RQ5 약한 이중대수에 대한 중심 구조는 야터-드린펠트 모듈 카테고리와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 약한 호프 대수 위의 왼쪽-왼쪽, 왼쪽-오른쪽, 오른쪽-왼쪽, 오른쪽-오른쪽 야터-드린펠트 모듈 카테고리는 브라운드 모노이드 카테고리로서 동형이다.
• H-모듈 카테고리의 약한 중심은 H 위의 야터-드린펠트 모듈 카테고리와 동형이며, H가 약한 호프 대수일 경우 중심과 일치한다.
• 약한 호프 대수 위의 야터-드린펠트 모듈은 보함 및 다른 이들이 정의한 약한 도이-호프 모듈 및 약한 엔트윙잉 모듈이다.
• 유한 생성 및 자유인 약한 호프 대수 H의 드린펠트 듀얼은 약한 스매시 프로덕트 H#H*와 동형이며, 이 구성은 [1,16]의 드린펠트 듀얼과 일치하고 [17]의 것과 반대 동형이다.
• 약한 호프 대수 위의 유한 생성 자유 야터-드린펠트 모듈 카테고리는 이중성 구조를 갖는다. 이는 유한 차원 호프 대수의 성질을 일반화한 것이다.
• H의 목표 공간 H_t 위에서 H에 대한 이중대수 구조를 통해 H 위의 야터-드린펠트 모듈을 H_t-이중대수 위의 야터-드린펠트 모듈로 재정의할 수 있으며, 이 둘의 카테고리는 동치이다.