[논문 리뷰] Z_2 indices of odd symmetric Fredholm operators

Hermann Schulz‐Baldes|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 02.

Topological Materials and Phenomena인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Z₂-지표 이론을 비대칭 헬름홀츠 연산자에 대해 소개한다—즉, I² = −1을 만족하는 실수 유니터리 I에 대해 I∗TI = T∗를 만족하는 분리 가능한 복소 힐버트 공간 위의 유계 선형 연산자 T이다. 고전적 노에터 지표가 0이 되지만, 핵의 차원의 기수는 안정적인 호모토피 불변량임이 밝혀지며, 이는 고전적 고블버그-크라인 정리를 일반화하고, 홀수 시간역전 대칭을 가진 이중 차원 토폴로지적 절연체에 대해 위상적 불변량을 제공한다. 여기서 비자명한 Z₂-지표는 비자명한 스핀 크로니 수를 암시한다.

ABSTRACT

A bounded operator T on a separable, complex Hilbert space is said to be odd sym-metric if I∗T tI = T where I is a real unitary satisfying I2 = −1 and T t denotes the transpose of T. The Noether index of an odd symmetric Fredholm operator vanishes, but the parity of the dimension of its kernel is shown to be a homotopy invariant that is stable under compact perturbations. The class of real skew-adjoint Fredholm operators for which Atiyah and Singer defined Z2-indices is a subset of infinite codimension within the set of odd symmetric Frehholm operators. As first example for an odd Z2-index theo-rem, a Z2-version of the Gohberg-Krein theorem is presented. An even Z2-index theorem leads to a phase label for two-dimensional topological insulators with odd time-reversal symmetry, for which non-trivial Z2-index enforces non-zero spin Chern numbers. 1 Resumé Let H be a separable, complex Hilbert space and I a real skew-adjoint unitary operator on H. Skew-adjointness of I is equivalent to I2 = −1 and implies that the spectrum of I is {−ı, ı}. Such an I exists if and only if H is even or infinite dimensional. One may assume to be I in the normal form I = ( 0 −11 0), see Proposition 6 below. This paper is about bounded linear operators T ∈ B(H) on H which are odd symmetric w.r.t. I in the sense that I ∗ T I = T ∗ ⇐ ⇒ I ∗ T t I = T, (1) where the complex conjugate T is defined in terms of complex conjugation C on H by T = CTC, and the transpose of T is T t = (T)∗. The set of bounded odd symmetric operators is denoted by B(H, I). Condition (1) looks like a quaternionic condition, but actually a quaternionic operator rather satisfies I∗TI = T and the set of quaternionic operators forms a multiplicative group, while B(H, I) does not. However, the following can easily be checked. Proposition 1 B(H, I) is a linear space and

연구 동기 및 목표

• 홀수 대칭 프레드홀름 연산자에 대한 Z₂-지표를 정의하고 연구하기 위해.
• 콤���트 페르터베이션 하에서 핵 차원의 기수를 안정적인 호모토피 불변량으로 확립하기 위해.
• 홀수 대칭 연산자에 대해 고클버그-크라인 정리를 Z₂ 설정으로 일반화하기 위해.
• Z₂-지표를 밀도물리학의 위상 불변량, 특히 홀수 시간역전 대칭을 가진 이중 차원 토폴로지적 절연체의 스핀 크로니 수와 연결하기 위해.
• 홀수 대칭 프레드홀름 연산자와 아티야-식린 지표 이론에서 사용되는 실수 반대칭 프레드홀름 연산자의 클래스 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• I² = −1을 만족하는 실수 유니터리 I에 대해 I∗TI = T∗ 조건을 통해 홀수 대칭 연산자 T ∈ B(H)를 정의한다.
• 전치 연산 Tᵗ = (T)∗ 및 복소수 켤레를 사용하여 대칭 조건을 Tᵗ에 대한 식으로 표현한다.
• 핵 차원의 기수는 콤팩트 페르터베이션 하에서도 불변임을 보여, Z₂-지표를 확립한다.
• 첫 번째 홀수 Z₂-지표 정리의 예로, 고블버그-크라인 정리의 Z₂-버전을 구성한다.
• 짝수 연산자의 Z₂-지표가 홀수 시간역전 대칭을 가진 2차원 토폴로지적 절연체에서 위상상태 레이블을 이끌어냄을 보여준다.
• Z₂-지표를 스핀 크로니 수와 연결하여, 비자명한 지표가 비자명한 스핀 크로니 수를 암시함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 대칭 프레드홀름 연산자의 핵 차원 기수는 노에터 지표가 0이 되는 상황에서도 콤팩트 페르터베이션 하에서 안정적인 호모토피 불변량이 될 수 있는가?
• RQ2 홀수 대칭 프레드홀름 연산자에 대한 Z₂-지표는 고전적 고블버그-크라인 정리를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 홀수 대칭 프레드홀름 연산자의 클래스와 아티야-식린 이론에서 사용되는 실수 반대칭 프레드홀름 연산자의 클래스 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 짝수 연산자의 Z₂-지표는 홀수 시간역전 대칭을 가진 이중 차원 토폴로지적 절연체에서 위상상태 레이블을 어떻게 이끌어내는가?
• RQ5 이러한 시스템에서 비자명한 Z₂-지표는 반드시 비자명한 스핀 크로니 수를 암시하는가?

주요 결과

• 홀수 대칭 프레드홀름 연산자의 핵 차원 기수는 콤팩트 페르터베이션 하에서 안정적인 호모토피 불변량이다.
• 핵 차원 기수에 의해 정의된 Z₂-지표는 고클버그-크라인 정리를 홀수 대칭 설정으로 일반화한다.
• Z₂-지표를 가진 실수 반대칭 프레드홀름 연산자의 집합은 홀수 대칭 프레드홀름 연산자의 집합 내에서 무한 차원의 부분집합이다.
• 짝수 Z₂-지표 정리는 홀수 시간역전 대칭을 가진 이중 차원 토폴로지적 절연체에 대해 위상상태 레이블을 이끌어낸다.
• 이러한 절연체에서 비자명한 Z₂-지표는 비자명한 스핀 크로니 수를 강제로 이끌어내며, 위상적 제약 조건을 설정한다.
• Z₂-지표는 홀수 시간역전 대칭을 가진 시스템에서 위상상태를 분류하는 강력한 불변량을 제공한다.