[논문 리뷰] Z/2Z topological order and Majorana doubling in Kitaev Chain

Rukhsan Ul Haq, Louis H. Kauffman|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 02.

Advanced Condensed Matter Physics인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 카이타에프 체인 모델에서 Z/2Z 위상적 순서와 메이저라 나노입자 두重성에 대해 조사하며, 메이저라 페르미온 큐비트의 위상적 보호를 위한 두 가지 별개의 메커니즘—페르미온 모드 연산자와 반교환 대칭 연산자—를 제시한다. 이는 위상적 보호를 이해하기 위한 일반적 프레임워크를 수립하며, 이러한 두 접근 방식의 동치성과 그들이 기본 상태 디지너시를 유지하는 데서의 역할을 보여준다.

ABSTRACT

The Kitaev chain model exhibits topological order that manifests as topological degeneracy, Majorana edge modes and $Z_{2}$ topological invariance of the abulk spectrum. This model can be obtained from a transverse field Ising model(TFIM) using the Jordan-Wigner transformation. TFIM has neither topological degeneracy nor any edge modes. Topological degeneracy associated with topological order is central to topological quantum computation. In this paper we will explore topological protection of the ground state manifold in the case of Majorana fermion models which exhibit $Z_{2}$ topological order. We will show that there are at least two different ways to understand this topological protection of Majorana fermion qubits: one way is based on fermionic mode operators and the other is based on anti-commuting symmetry operators. We will also show how these two different ways are related to each other. We provide a very general approach of understanding the topological protection of Majorana fermion qubits in the case of lattice Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 카이타에프 체인 모델 내에서 메이저라 페르미온 큐비트의 위상적 보호의 기원을 이해하기 위해.
• Z/2Z 위상적 순서가 위상적 디지너시와 메이저라 모서리 모드를 통해 카이타에프 체인에서 어떻게 나타나는지 명확히 하기 위해.
• 페르미온 모드 연산자와 반교환 대칭 연산자라는 두 가지 별개의 이론적 프레임워크를 비교하고 통합하기 위해.
• Z/2Z 위상적 순서를 보이는 격자 해밀토니언에 적용 가능한 일반화 가능한 접근법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 횡방향 자기장 이징 모델(TFIM)을 카이타에프 체인으로 매핑하기 위해 조르당-바이너 전환을 사용하여 두 모델을 연결한다.
• 카이타에프 체인의 격자 스펙트럼을 분석하여 Z_2 위상적 불변성을 식별한다.
• 페르미온 모드 연산자를 적용하여 기본 상태 다각형과 그 위상적 보호를 기술한다.
• 반교환 대칭 연산자를 도입하여 기본 상태의 디지너시를 보호하는 대안적 메커니즘을 제공한다.
• 페르미온 모드 연산자 접근법과 반교환 대칭 연산자 접근법 간의 동치성을 입증한다.
• Z/2Z 위상적 순서를 보이는 격자 모델에서 위상적 보호를 위한 일반적 프레임워크를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부모 모델인 횡방향 자기장 이징 모델에선 이러한 위상적 순서가 없음에도 불구하고 카이타에프 체인 모델에서 Z/2Z 위상적 순서는 어떻게 발생하는가?
• RQ2 카이타에프 체인에서 메이저라 페르미온 큐비트의 위상적 보호를 위한 두 가지 별개의 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 페르미온 모드 연산자와 반교환 대칭 연산자 접근법은 기본 상태 디지너시를 보호하는 데 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 Z/2Z 위상적 순서를 보이는 격자 해밀토니언에서 위상적 보호의 일반적 구조는 무엇인가?
• RQ5 카이타에프 체인의 위상적 디지너시는 그 격자 스펙트럼 불변성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 카이타에프 체인은 위상적 디지너시와 메이저라 모서리 모드를 특징으로 하는 Z/2Z 위상적 순서를 보이며, 이는 Z_2 대칭에 대한 격자 스펙트럼의 불변성에서 기인한다.
• 기본 상태 다각형의 위상적 보호는 두 가지 동치된 메커니즘—페르미온 모드 연산자와 반교환 대칭 연산자—를 통해 달성된다.
• 페르미온 모드 연산자 접근법은 영에너지 메이저라 모드와 디지너기된 기본 상태 간의 직접적인 연결 고리를 제공한다.
• 반교환 대칭 연산자 접근법은 기본 상태 디지너시를 보호하는 비국소 대칭 구조를 드러낸다.
• 두 접근법은 수학적으로 동치이며, 대칭 연산자가 페르미온 모드와 동일한 위상적 불변량을 생성한다.
• Z/2Z 위상적 순서를 보이는 격자 해밀토니언에서 위상적 보호를 위한 일반적 프레임워크가 수립되었으며, 이는 카이타에프 체인을 초월해 다른 Z/2Z 위상적 순서를 보이는 시스템에도 적용 가능하다.