[논문 리뷰] $Z_N$ symmetric chiral Rabi model: a new $N$-level system

Yao-Zhong Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 19.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 43인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $N$-레벨 원자에 대해 새로운 $ olimits\mathbb{Z}_N$ 대칭 편향 Rabi 모델을 제안한다. 이는 두레벨 Rabi 모델을 일반화한 것으로, 복소수 수준 분열 매개변수를 允가하면서도 해밀토니안의 에르미시안 성질을 유지한다. 모델은 $N$중도 불변 예외적 에너지와 초월 함수의 영점에 의해 결정되는 정규 에너지를 나타내며, $N=3$일 때 바르그만-힐베르트 공간 분석과 연속 분수를 통해 정확한 해를 도출한다. $ olimits\mathbb{Z}_N$ 대칭성은 부분 대각화를 가능하게 하며 스펙트럼의 해석적 처리를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a new tractable quantum Rabi model for $N$-level atoms by extending the $\mathbb Z_2$ symmetry of the two-state Rabi model. The Hamiltonian is $\mathbb Z_N$ symmetric and allows the parameters in the level separation terms to be complex while remaining hermitian. This latter property means that the new model is {\em chiral}, which makes it differ from any existing $N$-state Rabi models in the literature. The $\mathbb Z_N$ symmetry provides partial diagonalization of the general Hamiltonian. The exact isolated (i.e. exceptional) energies of the model have the Rabi-like form but are $N$-fold degenerate. For the three-state case ($N=3$), we obtain three transcendental functions whose zeros give the regular (i.e. non-exceptional) energies of the model.

연구 동기 및 목표

• 두레벨 양자 Rabi 모델을 다루기 쉬운 에르미시안 해밀토니안을 가진 $N$-레벨 시스템으로 확장하기 위해.
• 레벨 분열 항에 복소수 매개변수를 포함시키되 에르미시안 성질을 유지함으로써 편향 행동을 가능하게 하는 모델을 구축하기 위해.
• $\nolimits\mathbb{Z}_N$ 대칭성을 활용하여 부분 대각화 및 정확한 가역성을 달성하기 위해.
• $N=3$의 경우 예외적 및 정규 에너지 스펙트럼에 대한 정확한 표현을 유도하기 위해.
• 다중 레벨 원자-공진기 시스템에서의 실험적 실현 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 레벨 수 $N$에 따라 $Z^N = X^N = 1$ 및 $ZX = \omega XZ$를 만족하는 $N$차원 파울리 유사 연산자 $Z$와 $X$를 사용하여 두레벨 Rabi 모델을 일반화한다. 여기서 $\omega = e^{2\pi i/N}$이다.
• 해밀토니안 $H_N = \Omega b^\dagger b + \Delta \sum_{m=1}^{N-1} \alpha_m Z^m + \lambda(X^\dagger b^\dagger + Xb)$를 구성한다. 여기서 $\alpha_m$는 복소수이지만 $\alpha_m^\dagger = \alpha_{N-m}$를 만족하여 에르미시안 성질을 확보한다.
• $\nolimits\mathbb{Z}_N$ 대칭성을 적용하여 해밀토니안을 블록 대각형으로 분해하고 문제를 $N$개의 결합된 채널로 축소한다.
• 바르그만-힐베르트 공간 표현을 사용하여 파동함수를 보존 포크 상태에 대한 거듭제곱 급수로 표현한다.
• 전개 계수에 대한 재귀 관계를 유도하고 연속 분수를 통해 최소 해를 식별한다.
• 정규 에너지 고유값을 유도하는 초월 함수 $F^{(s)}(E^{(s)})$를 정의하며, $s$는 $ olimits\mathbb{Z}_N$ 섹터를 인덱싱한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 수준 분열 매개변수를 허용하면서도 $ olimits\mathbb{Z}_N$ 대칭성과 에르미시안 성질을 유지하는 $N$-레벨 원자에 대한 해밀토니안을 구성할 수 있는가?
• RQ2 $\nolimits\mathbb{Z}_N$ 대칭성이 모델의 부분 대각화 및 정확한 가역성을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ3 $N=3$의 경우 에너지 스펙트럼의 구조, 특히 예외적 에너지와 정규 에너지의 구조는 어떠한가?
• RQ4 재귀 관계에서 유도된 초월 함수를 사용하여 정규 에너지 수준을 어떻게 해석적으로 결정할 수 있는가?
• RQ5 연속 분수의 역할은 바르그만-힐베르트 공간에서 전체 파동함수 해를 식별하는 데 어떤가?

주요 결과

• 해밀토니안은 수준 분열 매개변수 $\alpha_m$가 복소수일지라도 $ olimits\mathbb{Z}_N$ 대칭성과 에르미시안 성질을 유지하므로 모델은 편향성을 띈다.
• 예외적 에너지—다항식 형태의 파동함수에 해당—는 라비 모델 유사 형태를 띠지만 $N$중도 불변이다.
• $N=3$일 때 정규 에너지는 재귀 계수의 연속 분수에서 유도된 세 개의 초월 함수 $F^{(s)}(E^{(s)})$의 영점에 의해 결정된다.
• 파동함수 전개 계수는 정규 수학적 다항식과 연결된 3항 재귀 관계를 만족하며, 체계적인 해법 방법을 가능하게 한다.
• 이 모델은 편향 상호작용을 포함하는 $N$-레벨 시스템으로의 Rabi 모델의 최소적이고 다루기 쉬우며 물리적으로 의미 있는 일반화를 제공한다.
• 연속 분수 방법을 통해 바르그만-힐베르트 공간에서 전체 해를 식별할 수 있으며, $F^{(s)}(E^{(s)})=0$의 근을 찾는 방식으로 이산 고유값을 도출할 수 있다.