[논문 리뷰] Zak's Phase in Non-Symmetric One-Dimensional Crystals

Marc Martí-Sabaté, Daniel Torrent|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 21.

Liquid Crystal Research Advancements참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일차원 격자에서 Zak의 위상을 좌표에 의존하는 전역 위상과 좌표에 무관한 내부 위상으로 분해하며, 내부 위상은 밴드 비대칭성을 측정하고 대칭 격자에서만 0이 되는 것으로 보여준다. 푸리에 기반 계산을 통해 내부 위상은 푸리에 성분 간 상대적 지연과 연결된 강건한 결정 내 성질임을 밝히며, 양자 및 고전적 파동 시스템에서의 위상적 및 구조적 성질을 특성화하는 데 새로운 도구를 제공한다.

ABSTRACT

In this work, we derive some analytical properties of Berry's phase in one-dimensional quantum and classical crystals, also named Zak's phase, when computed with a Fourier basis. We show that Zak's phase can be divided in two terms: a global phase required to make the Bloch wave periodic in the Brillouin zone and an internal phase which measures the relative delay of the different Fourier terms within the Brillouin zone. While the former phase is dependent on the origin of coordinates of the unit cell, the latter is independent of it, so that it can be interpreted as an internal property of the band itself. We show that this internal phase is always zero for a symmetric crystal while it can take any value when this symmetry is broken, showing therefore that it can be interpreted as a measure of the assymetry of the band. Since for a symmetric crystal Zak's phase is entirely determined by the global part, we show that this can be easily calculated by means of the parity of the Fourier terms at the center and edge of the Brillouin zone, being therefore unnecessary the integration of the modes through the unit cell and the entire Brillouin zone. We provide numerical examples analyzing the internal part for both electronic and classical waves (acoustic or photonic). We analyze the weakest electronic potential capable of presenting asymmetry, as well as the double-Dirac delta potential, and in both examples it is found that the internal phase varies continuously as a function of a symmetry-control parameter, but it is zero when the crystal is symmetric. For classical waves, the layered material is analyzed. Although Zak's phase has been mainly studied in connection with the existence of edge states in finite crystals, we consider that the study of the internal phase can be more relevant to understand bulk properties of quantum and classical crystals.

연구 동기 및 목표

• 일차원 격자에서 Zak의 위상을 좌표에 의존하는 전역 위상과 좌표에 무관한 내부 위상 성분으로 분해하는 것.
• 내부 위상이 밴드의 비대칭성을 측정하며, 대칭 격자에서만 0이 되는 것을 입증하는 것.
• 전체 브릴루앙 영역을 통한 적분 없이도 내부 위상을 계산할 수 있는 방법을 제공하는 것. 이는 푸리에 계수의 기현성 정보만을 사용한다.
• 평면파 전개 방법을 사용하여 전자계 및 고전적 파동계(음향 및 광학 격자)로 분석을 확장하는 것.
• 내부 위상이 물리적으로 의미 있는 결정 내 불변량이며, 표면 상태를 초월한 밴드 구조에 대한 통찰을 제공함을 보여주는 것.

제안 방법

• 블로흐 파동함수를 푸리에 기저로 표현하기 위해 평면파 전개(PWE) 방법을 사용하여 Zak의 위상의 해석적 처리를 가능하게 한다.
• Zak의 위상을 푸리에 계수의 합으로 표현: $\theta_0 = i\sum_m \int_{-\pi/a}^{\pi/a} u_m(k) \partial_k u_m^*(k) dk$로 나타내며, 전역 및 내부 기여를 분리한다.
• 내부 위상은 단위 세포 이동에 대해 불변인 Zak의 위상의 부분으로, 푸리에 성분 간 상대적 위상 변화에서 유도된다.
• 단일 및 이중 딜라 함수 잠재력이 있는 전자계와 층상 구조를 가진 고전적 파동계에 이 방법을 적용한다.
• 대칭성 파괴 매개변수의 변화에 따라 내부 위상과 베리 접속을 수치적으로 계산한다.
• 내부 위상은 대칭점(예: $\xi_2 = \xi_1$ 또는 $\xi_2 = 0$)에서 0이며, 이외에는 연속적으로 변화함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭적인 일차원 격자에서 Zak의 위상은 좌표에 의존하는 전역 위상과 좌표에 무관한 내부 위상으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 내부 위상의 물리적 의미는 무엇이며, 밴드 비대칭성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 전자계 및 고전적 파동계에서 대칭성 파괴에 따라 내부 위상은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 전체 브릴루앙 영역을 통한 적분 없이도 푸리에 계수의 기현성 정보만으로 내부 위상을 계산할 수 있는가?
• RQ5 내부 위상은 표면 상태에 영향을 받지 않는 밴드 구조의 결정 내 특성화에 어느 정도 기여하는가?

주요 결과

• 대칭 격자에서는 내부 위상이 0이고 대칭성이 깨지면 비영이 되므로, 내부 위상은 밴드 비대칭성의 직접적 측도이다.
• 내부 위상은 단위 세포의 기준점과 무관하므로, 고유한 밴드 성질임을 입증한다.
• 대칭 격자에서는 Zak의 위상이 전부 전역 위상에 의해 결정되며, 이는 브릴루앙 영역 중심과 끝에서 푸리에 계수의 기현성으로 계산할 수 있다.
• 이중 딜라 함수 잠재력의 경우 내부 위상은 대칭성 제어 매개변수 $\xi_2$에 따라 연속적으로 변화하며, 대칭 구조에서 0이 된다.
• 층상 고전적 파동계(음향/광학 격자)에서는 단위 세포가 역행성 대칭이 없을 경우 내부 위상이 비영이 되며, 이는 이동으로 인해 대칭 단위 세포를 찾을 수 있더라도 마찬가지이다.
• 수치 결과는 내부 위상의 주요 기여가 베리 접속이 비영인 영역, 특히 $k=0$ 또는 브릴루앙 영역 경계 근처에서 발생함을 보여준다.