[논문 리뷰] Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers

Alex Collins, Alexander W. N. Riasanovsky외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $ K_{b,b} $-자유 이분 그래프에서 $ K_{s,s} $ 부분그래프를 피하는 최대 간선 수인 Zarankiewicz 수 $ z(b;s) $를 구속하고 계산하는 계산적 방법을 제안한다. 이 방법을 사용하여 저자들은 $ 3 \leq s \leq 6 $에 대해 $ z(b;s) $의 새로운 정확한 값과 경계를 결정하였으며, 이로 인해 이전까지 알려지지 않았던 이분 라모지 수 $ b(2,5) = 17 $를 정확히 계산하였고, $ 17 \leq b(2,2,3) \leq 18 $의 날카운 경계를 확립하였다. 이 하한은 유일한 2색 칠하기로 확인되었다.

ABSTRACT

The Zarankiewicz number $z(b;s)$ is the maximum size of a subgraph of $K_{b,b}$ which does not contain $K_{s,s}$ as a subgraph. The two-color bipartite Ramsey number $b(s,t)$ is the smallest integer $b$ such that any coloring of the edges of $K_{b,b}$ with two colors contains a $K_{s,s}$ in the first color or a $K_{t,t}$ in the second color. In this work, we design and exploit a computational method for bounding and computing Zarankiewicz numbers. Using it, we obtain several new values and bounds on $z(b;s)$ for $3 \le s \le 6$. Our approach and new knowledge about $z(b;s)$ permit us to improve some of the results on bipartite Ramsey numbers obtained by Goddard, Henning and Oellermann in 2000. In particular, we compute the smallest previously unknown bipartite Ramsey number, $b(2,5)=17$. Moreover, we prove that up to isomorphism there exists a unique $2$-coloring which witnesses the lower bound $16<b></b>

연구 동기 및 목표

• 최대 $ K_{s,s} $ 부분그래프를 포함하지 않는 $ K_{b,b} $ 부분그래프에서의 간선 수 최댓값인 Zarankiewicz 수 $ z(b;s) $를 구속하고 계산하는 계산적 방법을 개발하는 것.
• Zarankiewicz 수와 이분 라모지 수 간의 관계를 활용하여 $ 3 \leq s \leq 6 $에 대해 $ z(b;s) $의 경계를 향상시키고 정확한 값을 계산하는 것.
• 향상된 Zarankiewicz 경계를 활용해 이분 라모지 수, 특히 다색 경우에 대해 이전에 알려지지 않았거나 더 날카로운 경계를 계산하거나 개선하는 것.
• 다색 이분 라모지 수의 가장 작은 미해결 케이스인 $ b(2,2,3) $를 날카운 경계로 확립함으로써 해결하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $ K_{b,b} $의 0-1 행렬 표현을 사용하여 간선 집합을 모델링하고, $ K_{s,s} $ 부분그래프를 피하는 극단적인 이분 그래프를 체계적으로 탐색하는 계산 알고리즘을 설계한다.
• 구성적 탐색, 대칭성 감소, 가지치기 기법을 조합하여 후보 그래프를 효율적으로 탐색하고 동형 중복을 피한다.
• Zarankiewicz 수와 이분 라모지 수 간의 이중성 원리를 활용한다: 각 색상 클래스에 최대 $ z(b;s) $개의 간선이 존재하는 $ K_{b,b} $ 간선 색칠법이 존재하면, 이는 각 색상 클래스에 $ K_{s,s} $ 부분그래프가 존재하지 않음을 의미한다.
• 제약 조건 전파 기반 백트래킹 탐색을 사용하여 $ K_{s,s} $-자유 조건 하에서 최대 간선 수를 최적화하는 0-1 행렬 공간을 탐색한다.
• 기존 이론적 경계를 기반으로 하여, 특히 $ s = 3,4,5,6 $에 대해 $ z(b;s) $의 경계를 반복적·재귀적으로 개선한다.
• 검증을 위해 기존의 구성 방법을 사용하고, Afzaly와 McKay의 $ z(n;2) $ 결과(최대 $ n \leq 31 $)와 비교하여 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3 \leq s \leq 6 에 대해 Zarankiewicz 수 $ z(b;s) $의 정확한 값과 향상된 상한/하한은 무엇인가?
• RQ2 계산적 방법을 어떻게 활용하여 $ b $가 클수록 $ z(b;s) $의 경계를 더욱 날카롭게 할 수 있는가?
• RQ3 향상된 Zarankiewicz 경계를 어떻게 활용하여 이분 라모지 수, 특히 $ b(2,5) $를 계산하거나 경계를 좁힐 수 있는가?
• RQ4 가장 작은 미해결 다색 이분 라모지 수 $ b(2,2,3) $는 무엇이며, 날카운 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ5 유일한 2색 칠하기로 $ K_{16,16} $에서 첫 번째 색상으로 $ K_{2,2} $ 부분그래프를 피하고 두 번째 색상으로 $ K_{5,5} $ 부분그래프를 피할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 이분 라모지 수 $ b(2,5) = 17 $의 정확한 값을 계산하여 이전에 알려지지 않았던 케이스를 해결하였다.
• 현재 다색 이분 라모지 수에서 가장 작은 미해결 케이스인 $ 17 \leq b(2,2,3) \leq 18 $의 날카운 경계를 확립하였다.
• 동형을 제외하고, $ K_{16,16} $에 대해 첫 번째 색상에서 단일한 $ K_{2,2} $ 부분그래프를 피하고 두 번째 색상에서 단일한 $ K_{5,5} $ 부분그래프를 피하는 2색 칠하기가 유일하게 존재함을 증명하였다. 이는 하한 $ b(2,5) > 16 $를 확인한다.
• 3 \leq s \leq 6 에 대해 $ z(b;s) $의 새로운 정확한 값과 향상된 경계를 제공하였으며, 표 5~7에 나타낸 바와 같이 $ z(17;5) = 171^* $, $ z(18;5) = 192^\dagger $, $ z(18;6) = 258 $ 등이 포함된다.
• 이전까지 알려지지 않았던 Zarankiewicz 수, 즉 $ z(17;5) = 171 $, $ z(18;5) = 192 $, $ z(18;6) = 258 $를 성공적으로 계산하였으며, 별표(*)와 딸각표($\dagger$)는 새로운 또는 향상된 경계를 나타낸다.
• 기존에 알려진 $ b_5(2) $의 상한 경계, 즉 $ z(k^2 + k - 2; 2) $로부터 유도된 경계가 그대로 유지됨을 확인하였고, $ b_5(2) = 28 $라는 추측은 여전히 열려 있다.