[논문 리뷰] Zariski topologies on groups

Тарас Банах, Ігор Протасов|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 04.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군 G와 형식적 변수 x에 대한 군 어휘의 여집합으로 정의된 군 위의 자리스키 위상 $τ_n = \mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$를 연구한다. 2번째 자리스키 위상은 무한군에서는 항상 이산적이지 않으며, 이 위상에서 가산 적인 의사특성( pseudocharacter )을 가진 연속기수 크기의 군을 구성하고, 일부 비위상화 가능한 군들이 665번째 자리스키 위상에서 이산적임을 보여, $τ_n$이 이산이 될 수 있는 최소 $n$에 대한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

The $n$-th Zariski topology on a group $G$ is generated by the sub-base consiting of the cozero sets of monomials of degree $\le n$ on $G$. We prove that for each group $G$ the 2-nd Zariski topology is not discrete and present an example of a group $G$ of cardinality continuum whose 2-nd Zariski topology has countable pseudocharacter. On the other hand, the non-topologizable group $G$ constructed by Ol'shanskii has discrete 665-th Zariski topology.

연구 동기 및 목표

• 임의의 군 $G$에 대해 $n$-번째 자리스키 위상 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 의 위상적 구조를 분석하는 것.
• 특히 무한군에서 $n$-번째 자리스키 위상이 이산이 될 수 있는 $n$을 규명하는 것.
• 2번째 자리스키 위상의 의사특성과 그 군의 기수에 대한 의존성에 대해 조사하는 것.
• $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 의 이산성과 군 $G$ 의 비위상화 가능성 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 특히 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 가 이산이 될 수 있는 최소 $n$ 에 관해 열려있던 질문을 해결하는 것.

제안 방법

• $n$-번째 자리스키 위상 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 는 $G$ 에서의 차수 $\leq n$ 인 단항식 $w$ 와 변수 $x$ 에 대해 $\{x \in G : w(x) \neq 1\}$ 의 여집합으로 생성된다.
• 단항식을 군 어휘 사상 $G \to G$ 로 해석하기 위해 자유곱 $G[x] = G * \langle x \rangle$ 을 사용하며, $w(g)$ 는 $g \in G$ 에서의 평가를 나타낸다.
• 2번째 자리스키 위상 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ 가 비이산임을 증명하기 위해, 위상이 이산이라고 가정하고, 가산 부분군 위에 비이산이고 하우스도르프인 위상을 구성함으로써 모순을 이끌어내는 방식을 사용한다.
• 기수 연속기수 크기의 군 $G$ 는 이진 트리 $\mathrm{Aut}(T)$ 의 자기동형군이 자유군 $F(T)$ 에 작용하도록 구성하여, 2번째 자리스키 위상에서 가산 의사특성을 가지는 것을 실현한다.
• 비위상화 가능한 군에서 665번째 자리스키 위상이 이산적임은 올샤니의 구성과 조합론적 군 이론의 깊은 결과에 기반하여 확립된다.
• 논문은 귀납법과 기수의 성질을 이용하여, $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 가 비이산일 경우에 무한 대칭집합 $X$ 를 구성함으로써 $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$ 이 되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 무한군 $G$ 에 대해 2번째 자리스키 위상 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ 는 비이산적인가?
• RQ2 일부 비가산 군 $G$ 에 대해 의사특성 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]})$ 가 가산일 수 있는가?
• RQ3 비위상화 가능한 군 $G$ 에 대해 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 가 이산이 될 수 있는 최소 $n$ 은 무엇인가?
• RQ4 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) \geq \log|G|$ 는 모든 무한군 $G$ 에 대해 성립하는가?
• RQ5 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 가 비이산일 경우, 임의의 유한집합 $A_0, \dots, A_n$ 에 대해 $1 \notin A_0 \cdots A_n$ 이면 $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$ 인 무한 대칭집합 $X$ 가 존재하는가?

주요 결과

• 2번째 자리스키 위상 $\mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}$ 는 모든 무한군 $G$ 에 대해 이산적이지 않으며, 가산 부분군 위에 비이산이고 하우스도르프인 위상을 구성함으로써 모순을 이끌어내어 증명된다.
• 기수 연속기수 크기의 군 $G$ 가 존재하여 의사특성 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) = \aleph_0$ 를 만족함을 보여, $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{2}[x]}) \geq \aleph_0$ 의 하한이 $|G|$ 로 향상될 수 없음을 입증한다.
• 올샤니에 의해 구성된 비위상화 가능한 군 $G$ 에 대해 665번째 자리스키 위상 $\mathfrak{Z}_{G^{665}[x]}$ 는 이산적이며, 이는 $n=665$ 가 일부 경우에서 이산성을 확보하는 데 충분함을 보여준다.
• 임의의 무한군 $G$ 에 대해 $\mathfrak{Z}_{G^{n}[x]}$ 가 비이산일 경우, $1 \notin A_0 A_1 \cdots A_n$ 이면 항상 $1 \notin A_0 X A_1 X \cdots X A_n$ 이 되는 무한 대칭집합 $X$ 가 존재한다.
• 1번째 자리스키 위상의 의사특성은 모든 무한군 $G$ 에 대해 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G^{1}[x]}) = |G|$ 를 만족하지만, 2번째 위상의 경우 최소 $\aleph_0$ 이상이며, 비가산 군에 대해서는 정확히 $\aleph_0$ 가 될 수 있다.
• 논문은 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G[x]}) = |G|$ 인 군은 위상화 가능하며, 임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대해 적절한 위상화 가능한 군을 통해 $\psi(G, \mathfrak{Z}_{G[x]}) = \aleph_0$ 가 가능함을 확인한다.