[논문 리뷰] Zero Assignment in Multivariable System Using Pole Assignment Method

Ye. M. Smagina|ArXiv.org|2002. 07. 11.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 선형 다변수 시스템에서 영점 할당 문제와 극점 할당 문제 사이의 수학적 동치성을 증명한다. 상태 피드백를 통해 영점 할당 문제를 서술자 또는 일반 시스템에서의 극점 할당 문제로 변환함으로써 이를 달성한다. 주요 기여는 임의의 영점 할당이 가능할 조건이 바로 해당 극점 할당 문제가 해법을 갖는지 여부에 달려 있으며, 이는 가측성과 할당된 영점이 시스템 고유값과 겹치지 않는 조건에 기반한다.

ABSTRACT

In the paper we consider the invariant zero assignment problem in a linear multivariable system with several inputs/outputs by constructing a system output matrix. The problem is reduced to the pole assignment problem by a state feedback (modal control) in a descriptor system or a regular one. It is shown that the zero assignment and pole assignment are mathematically equivalent problems.

연구 동기 및 목표

• 출력 행렬 H를 설계하여 다변수 시스템에서 불변 영점을 할당하는 데 도전하는 것.
• 영점 할당을 위한 로젠브룩의 복잡한 조건을 단순화하기 위해 개별 분자 다항식이 아닌 전체 영점 다항식 ψ(s)를 할당하는 데 집중하는 것.
• 영점 할당 문제와 극점 할당 문제 사이의 직접적인 수학적 동치성을 확립하는 것.
• 시스템 쌍 (A, B) 와 A의 고유구조에 기반하여 영점 할당 문제의 해법 조건을 제시하는 것.

제안 방법

• 기존 시스템을 비특이 상태 변환을 통해 서술자 시스템으로 변환하여 입력 행렬 B를 블록 대각 형식으로 단순화하고, 우하단 블록이 비특이성을 갖도록 하는 것.
• 유한 및 무한 영점을 유지하면서 시스템 행렬 P(s)를 구조화된 형식으로 재편성하기 위해 엄격한 시스템 동치 연산을 적용하는 것.
• 출력 행렬 H를 피드백 이득 행렬로 간주하여 영점 할당 문제를 변환된 서술자 시스템에서의 극점 할당 문제로 축소하는 것.
• 변환된 시스템 행렬의 행렬식과 영점 다항식 ψ(s) 간의 동치성을 이용하여 영점 할당을 극점 배치와 연결하는 것.
• 시스템 쌍 (A,B)의 가측성과 할당된 영점이 A의 고유값과 겹치지 않는 조건을 활용하여 상태 피드백를 통해 결과 극점 할당 문제를 해결하는 것.
• 역 변환을 통해 피드백 이득에서 원래 출력 행렬 H를 재구성하여 관측 가능성과 정확한 영점 배치를 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변수 시스템에서의 영점 할당 문제는 시스템 변환과 피드백 설계를 통해 극점 할당 문제로 축소될 수 있는가?
• RQ2 출력 행렬 H를 사용하여 임의의 영점 할당을 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 선형 다변수 시스템에서 영점 할당 문제와 극점 할당 문제 사이에 수학적 동치성이 존재하는가?
• RQ4 시스템 쌍 (A, B) 와 A의 고유구조에 기반하여 영점 할당 문제의 해법 조건은 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ5 결과 시스템이 관측 가능하고 사전에 할당된 영점 다항식 ψ(s)를 갖도록 하는 조건에서 출력 행렬 H가 존재하는가?

주요 결과

• 영점 할당 문제는 서술자 시스템에서 극점 할당 문제와 수학적으로 동치이며, 기존의 극점 할당 기법을 활용할 수 있다.
• r = l (정방 시스템) 인 경우, 할당된 영점 다항식의 차수 μ ≤ n−r 를 만족할 때, 영점 할당은 축소된 일반 시스템에서의 극점 할당과 동치가 된다.
• 시스템 (A,B) 가 가측성이고 할당된 영점이 A의 어떤 고유값과도 겹치지 않는 한, 영점 할당 문제의 해법은 보장된다.
• 논문은 영점 할당 문제를 서술자 시스템에서의 극점 할당 문제로 변환하고 상태 피드백를 통해 이를 해결함으로써 출력 행렬 H를 계산하는 구조적 방법을 제공한다.
• 할당된 영점이 A의 고유값과 겹치지 않는 한, 쌍 (A,H) 의 관측 가능성이 보장된다.
• 수치 예제는 제안된 방법의 정확성을 확인한다: 변환과 피드백 설계를 통해 H를 계산한 후 시스템 행렬 P(s)의 행렬식은 사전에 할당된 영점 다항식 ψ(s)와 정확히 일치한다.