[논문 리뷰] Zero Energy States of Reduced Super Yang-Mills Theories in $d+1 = 4,6$ and 10 dimensions are necessarily $Spin(d)$ invariant

David Hasler, Jens Hoppe|ArXiv.org|2002. 11. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 초대칭 양-밀스 이론을 d+1 = 4, 6, 10 차원(즉, d = 3, 5, 9)으로 축소시킨 경우의 영에너지 상태가 슈퍼차지의 반대칭관계와 각운동량 생성자에 의해 스피너(d) 군에 대해 단일표현이어야 한다는 것을 증명한다. d=2인 경우, 총 각운동량에 상한을 설정하고, 게이지 군 SU(N)의 차원이 홀수일 때(즉, N이 짝수일 때) 스피너(2)에 대해 불변 상태가 존재하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We consider reduced Super Yang-Mills Theory in $d+1$ dimensions, where $d=2,3,5,9$. We present commutators to prove that for $d=3,5$ and 9 a possible ground state must be a $Spin(d)$ singlet. We also discuss the case $d=2$, where we give an upper bound on the total angular momentum and show that for odd dimensional gauge group no $Spin(d)$ invariant state exists in the Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• d+1 = 4, 6, 10 차원으로 축소된 축소 초대칭 양-밀스 이론에서 영에너지 상태가 존재하는지 여부를 규명하는 것.
• 해당 영에너지 상태가 스피너(d) 군에 대해 어떻게 변환되는지 조사하는 것.
• 힐베르트 공간과 각운동량 제약 조건이 다를 수 있는 d=2의 경우를 별도로 분석하는 것.
• d=3,5,9인 경우, 슈퍼차지 반대칭관계와 자기수반성 추론을 통해 영에너지 상태가 스피너(d) 군의 단일표현이어야 한다는 것을 증명하는 것.
• d=2 및 홀수차원 SU(N)인 경우, 물리적 힐베르트 공간 내에서 스피너(2)에 대해 불변 상태가 존재하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 슈퍼차지 Qβ와 그 켤레 Q̃β의 반대칭관계를 사용하여 영에너지 상태에 대한 제약 조건을 도출한다.
• 물리적 힐베르트 공간 Hphys에서 항등식 {Qα, Qβ} = δαβH + 2γsαβqsAJA 를 적용하며, 여기서 H는 해밀토니안이고 JA는 SU(N) 생성자이다.
• SU(N)-불변 영에너지 상태에 대해, 적분 by parts와 절단 함수 χ(|q|/n)를 이용한 정규화를 통해 스피너(d) 생성자 Jst가 상태를 영으로 만든다는 것을 도출한다.
• d=2의 경우, γ-행렬의 특수한 표현(σ¹, -σ³)을 사용하여 J12를 보존적 및 페르미온적 부분으로 표현하며, λA∂/∂λA 연산자를 포함한다.
• 생성 및 소멸 연산자 λA와 ∂/∂λA를 도입하여 J12의 스펙트럼을 분석하고, dim SU(N)가 홀수일 경우 이 값이 영일 수 없음을 보여준다.
• 영에너지 상태가 매끄럽다는 것을 보장하기 위해 타원형 정규성(elliptic regularity)을 사용하여 증명에서 엄밀한 적분 by parts를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d+1 = 4, 6, 10 차원에서 축소된 초대칭 양-밀스 이론의 영에너지 상태는 반드시 스피너(d) 군에 대해 불변이어야 하는가?
• RQ2 슈퍼차지 반대칭관계는 영에너지 상태의 구조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 d=2의 경우는 고차원과 비교해 볼 때, 스피너(d) 불변 영에너지 상태의 존재성에서 어떻게 다를까?
• RQ4 게이지 군 SU(N)의 조건은 무엇이어야 스피너(2)에 대해 불변 상태가 힐베르트 공간에 존재하지 않을까?
• RQ5 dim SU(N)가 홀수일 경우, 영에너지 상태에서 각운동량 연산자 J12가 영일 수 있는가?

주요 결과

• d=3,5,9인 경우, 물리적 힐베르트 공간 내의 모든 영에너지 상태는 슈퍼차지 교환관계와 정규화된 반대칭관계를 통한 적분 by parts를 통해 스피너(d) 군의 단일표현이어야 한다.
• 이 증명은 Jst가 영에너지 상태 ψ에 작용할 때, Ker H에 속하는 모든 φ에 대해 (φ, Jstψ) = 0 이어야 하며, 이는 ||Jstψ||² = 0 이라는 결과를 낳는다.
• d=2의 경우, 상한을 도출한다: ||J12ψ|| ≤ 6||M12ψ||, 여기서 M12는 각운동량 생성자 중 페르미온적 부분이다.
• d=2의 경우, 연산자 L12 - (1/2)λA∂/∂λA의 스펙트럼은 반정수로 제한되며, 필요한 고유값은 -dim SU(N)/4 이다. dim SU(N)가 홀수일 경우 이 값은 반정수가 되지 않기 때문에.
• 따라서 SU(N)의 차원이 홀수일 때(즉, N이 짝수일 때), 스피너(2)에 대해 불변 영에너지 상태는 존재하지 않으며, 고유값 조건을 충족시킬 수 없기 때문이다.
• 결과는 일반 게이지 군에 대해 성립하며, d=2의 경우 페르미온 통계와 각운동량 양자화의 비트리비어한 상호작용으로 인해 특별한 경우로 간주된다.