[논문 리뷰] Zero range potential for particles interacting via Coulomb potential: application to electron positron annihilation

S. L. Yakovlev, V. A. Gradusov|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 27.

Muon and positron interactions and applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코풀럼 상호작용을 하는 두 입자에 대해, 리프만-슈빙거 유형의 적분방정식을 사용하여 원점에서 파동함수의 정확한 점근적 행동을 유도함으로써 수학적으로 엄밀한 영역 없는 포텐셜을 구축한다. 이로 유도된 가짜 포텐셜은 비상대론적 슈뢰딩거 방정식 내에서 전자-양전자 결합을 영향을 미치는 섭동적 접근을 가능하게 하며, 코풀럼 힘 존재 하에서 허수의 흡수 포텐셜을 포함하는 광학 정리가 일반화되어, 결합 단면적을 모델링하는 신뢰할 수 있는 기반을 제공한다.

ABSTRACT

The zero range potential is constructed for a system of two particles interacting via the Coulomb potential. The singular part of the asymptote of the wave function at the origin which is caused by the common effect of the zero range potential singularity and of the Coulomb potential is explicitly calculated by using the Lippmann-Schwinger type integral equation. The singular pseudo potential is constructed from the requirement that it enforces the solution to the Coulomb Schrödinger equation to possess the calculated asymptotic behavior at the origin. This pseudo potential is then used for constructing a model of the imaginary absorbing potential which allows to treat the annihilation process in positron electron collisions on the basis of the non relativistic Schrödinger equation. The functional form of the pseudo potential constructed in this paper is analogous to the well known Fermi-Breit-Huang pseudo potential. The generalization of the optical theorem on the case of the imaginary absorbing potential in presence of the Coulomb force is given in terms of the partial wave series.

연구 동기 및 목표

• 코풀럼 상호작용을 포함한 두체계에 대해 수학적으로 일관된 영역 없는 포텐셜을 개발하기 위해.
• 코풀럼 상호작용과 영역 없는 특이성 모두를 고려하여, 짧은 거리에서 파동함수의 정확한 점근적 행동을 유도하기 위해.
• 원점에서 올바른 특이 경계 조건을 강제하는 가짜 포텐셜을 구성하기 위해.
• 비상대론적 프레임워크 내에서 전자-양전자 결합을 모델링하기 위해 이 가짜 포텐셜을 적용하기 위해.
• 코풀럼 힘과 허수의 흡수 포텐셜을 포함하는 시스템에 대해 광학 정리를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 코풀럼 상호작용 시스템에서 r → 0 일 때의 파동함수의 특이 점근적 형태를 결정하기 위해 리프만-슈빙거 적분방정식을 해결한다.
• 스chrödinger 방정식에 이 포텐셜을 적용했을 때 원점에서 올바른 특이 파동함수 행동을 재현할 수 있도록 가짜 포텐셜 W_s(r)를 유도한다.
• 가짜 포텐셜의 델타 함수 유사 형태를 이용하여 결합 과정을 모델링하고, 이를 섭동적으로 다룬다.
• 양전자-전자 결합을 모델링하기 위해 허수의 흡수 포텐셜을 가짜 포텐셜 형태로 도입한다.
• 부분파면 분해를 적용하고 산란 진폭의 허수부로부터 결합 단면적을 유도한다.
• 코풀럼 힘과 허수의 흡수 포텐셜을 모두 포함하는 광학 정리를 일반화하여, 원점에서의 파동함수를 통해 결합률을 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장거리 코풀럼 상호작용이 존재하는 시스템에 대해 영역 없는 포텐셜을 일관적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 코풀럼 상호작용과 영역 없는 특이성이 동시에 존재할 때 원점에서 파동함수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ3 이 특이 경계 조건을 강제하기 위해 가짜 포텐셜을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 유도된 가짜 포텐셜은 비상대론적 슈뢰딩거 방정식 내에서 전자-양전자 결합을 모델링하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 코풀럼 힘 존재 하에서 허수의 흡수 포텐셜을 포함하는 광학 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 리프만-슈빙거 유형의 적분방정식을 사용하여 원점에서의 파동함수 특이 점근적 행동을 도출하였으며, 코풀럼 포텐셜과 영역 없는 포텐셜의 조합 효과로 수정된 1/r 특이성이 존재함을 보였다.
• 가짜 포텐셜 W_s(r) = δ(r) d/dr (r) 형태로 구성되었으며, 페르미-브라이트-황 포텐셜과 유사하여 원점에서 올바른 경계 조건이 강제됨을 보장한다.
• 결합 단면적은 σ_ann = -g/k |β|² 로 유도되었으며, β는 원점에서의 파동함수 비례함으로써 결합의 섭동적 접근가능성을 보장한다.
• 광학 정리는 σ_ann = -g/k |β|² 형태로 일반화되었으며, β는 파동함수를 통해 정의되어, 결합 존재 시에도 일관된 입자 수류 보존을 가능하게 한다.
• 허수의 흡수 포텐셜을 섭동적으로 다룰 경우, 델타 함수 유사 형태로 유도되어 원자 내 양전자 결합 모델링에 이 포텐셜을 사용하는 것이 타당함을 입증한다.
• 광학 정리의 두 번째 순서 보정항이 0이 됨을 확인하여, 최종 형태의 결합 단면적의 타당성을 검증하였다.