[논문 리뷰] Zero sum partition into sets of the same order and its applications

Sylwia Cichacz|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 25.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨 군 Γ가 m-제로합분할(m-ZSP) 성질을 가질 필요 및 충분 조건을 규명한다: Γ가 m-ZSP를 가진다는 것은 |Γ|가 홀수이거나 m ≥ 3이면서 Γ에 1개 이상의 이중항성원(_involution_)이 있다는 것과 동치이다. 이 결과는 특정 그래프에 대한 군 거리 마법 레이블링을 구성하고, Γ-코티지 배열의 존재 조건을 증명하는 데 응용된다.

ABSTRACT

We will say that an Abelian group $Γ$ of order $n$ has the $m$-\emph{zero-sum-partition property} ($m$- extit{ZSP-property}) if $m$ divides $n$, $m\geq 2$ and there is a partition of $Γ$ into pairwise disjoint subsets $A_1, A_2,\ldots , A_t$, such that $|A_i| = m$ and $\sum_{a\in A_i}a = g_0$ for $1 \leq i \leq t$, where $g_0$ is the identity element of $Γ$. In this paper we study the $m$-ZSP property of $Γ$. We show that $Γ$ has $m$-ZSP if and only if $|Γ|$ is odd or $m\geq 3$ and $Γ$ has more than one involution. We will apply the results to the study of group distance magic graphs as well as to generalized Kotzig arrays.

연구 동기 및 목표

• 유한 아벨 군 Γ가 크기가 m인 부분집합들로 분할 가능할 때, 각 부분집합의 합이 항등원이 되는 조건을 필요 및 충분 조건으로 규명하는 것.
• 기존의 임의 크기의 제로합분할에 대한 연구를 일반화하여, 균일한 크기 m인 부분집합으로의 분할인 m-ZSP 성질을 확장하는 것.
• m-ZSP 성질을 활용하여 정규 및 이분 그래프에 대한 군 거리 마법 레이블링을 구성하는 것.
• 아벨 군 Γ의 원소로 구성된 j×k 격자에서 각 행이 Γ의 순열이 되고, 모든 열의 합이 동일한 군 원소가 되는 Γ-코티지 배열의 존재 조건을 조사하는 것.

제안 방법

• m-ZSP 성질 정의: Γ를 크기가 m인 서로소 부분집합들로 분할하여 각 부분집합의 합이 항등원 g₀가 되도록 하는 것.
• 유한 아벨 군의 구조와 이중항성원의 성질을 포함한 군론적 기법을 사용하여 m-ZSP를 특성화하는 것.
• m-ZSP 조건을 활용하여, 특히 정규 및 이분 그래프에 초점을 맞춰 G∘K̄n 그래프에 대한 Γ-거리 마법 레이블링을 구성하는 것.
• 군의 자동형사상과 합 조건을 만족하는 전단사 함수를 이용하여 2×k 및 3×k 배열을 조합하여 Γ-코티지 배열을 구성하는 것.
• 기존의 ZSP 성질에 대한 결과(예: 정리 2)를 활용하고, 이를 균일한 부분집합 크기 m으로 일반화하는 것.
• Γ에 1개 이상의 이중항성원이 있거나 |Γ|가 홀수이면, m ≥ 3일 때 m-ZSP가 성립한다는 사실을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 아벨 군 Γ와 정수 m ≥ 2에 대해, Γ를 크기가 m인 서로소 부분집합들로 분할하여 각 부분집합의 합이 항등원이 되는 분할이 존재하는가?
• RQ2 Γ의 이중항성원 수가 m ≥ 3일 때 m-ZSP의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 조건에서 그래프 G∘K̄n이 어떤 아벨 군 Γ의 거리 마법 레이블링을 가질 수 있는가? (|V(G)| = |Γ|)
• RQ4 주어진 아벨 군 Γ과 정수 j, k에 대해 j×k 크기의 Γ-코티지 배열이 존재하는가?
• RQ5 ZSP 성질을 크기가 3 이상인 균일한 부분집합으로의 분할로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 아벨 군 Γ가 m-ZSP 성질을 가진다는 것은 |Γ|가 홀수이거나 m ≥ 3이면서 Γ에 1개 이상의 이중항성원이 있다는 것과 동치이다.
• m ≥ 3일 때, 1개 이상의 이중항성원을 가진 모든 유한 아벨 군 Γ는 m-ZSP 성질을 가진다.
• G∘K̄n에 대한 Γ-거리 마법 레이블링의 존재성은 rn의 기수성과 Γ의 구조, 특히 이중항성원의 수에 따라 달라진다.
• j > 1 이고 j가 짝수이거나, j가 홀수이며 Γ ∈ ℒ(즉, 1개 이상의 이중항성원을 가짐)이면, 임의의 아벨 군 Γ에 대해 j×k 크기의 Γ-코티지 배열이 존재한다.
• 모든 아벨 군 Γ에 대해 2×k 크기의 Γ-코티지 배열이 존재한다. 이는 x₁ᵢ = gᵢ, x₂ᵢ = -gᵢ로 할당함으로써 구성할 수 있다.
• 모든 Γ ∈ ℒ에 대해 3×k 크기의 Γ-코티지 배열이 존재한다. 이는 모든 g ∈ Γ에 대해 g + φ(g) + ψ(g) = g₀를 만족하는 전단사 함수 φ와 ψ를 사용함으로써 구성할 수 있다.