[논문 리뷰] Zero viscosity and thermal diffusivity limit of the linearized compressible Navier-Stokes-Fourier equations in the half plane

Yutao Ding, Ning Jiang|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 06.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점성 및 열확산계수의 극한에서 반평면 내 선형화된 압축성 나비에-스토크스-푸아죄르 방정식에 대해 균일 안정성을 확립한다. 이 경우 두 매개변수는 동일한 비율로 0으로 수렴한다. 다중스케일 점근 해석과 에너지 방법을 사용하여, 점성 및 열 경계층이 결합된 근사해를 구성하고, 이에 대한 점별 오차 추정을 통해 오일러 방정식으로의 균일 수렴을 확인한다.

ABSTRACT

We study the zero viscosity and heat conductivity limit of an initial boundary problem for the linearized Navier-Stokes-Fourier equations of a compressible viscous and heat conducting fluid in the half plane. We consider the case that the viscosity and thermal diffusivity converge to zero at the same order. The approximate solution of the linearized Navier-Stokes-Fourier equations with inner and boundary expansion terms is analyzed formally first by multiscale analysis. Then the pointwise estimates of the error terms of the approximate solution are obtained by energy methods, thus establish the uniform stability for the linearized Navier-Stokes-Fourier equations in the zero viscosity and heat conductivity limit. This work is based on \cite{xy} and generalize the results from isentropic case to the general compressible fluid with thermal diffusive effect. Besides the viscous layer as in \cite{xy}, thermal layer appears and coupled with the viscous layer linearly.

연구 동기 및 목표

• 반평면 내 선형화된 압축성 나비에-스토크스-푸아죄르 방정식의 영점성 및 열확산계수 극한을 분석한다.
• 이전의 등온 유체에 대한 결과를 열확산 효과를 고려한 일반적인 탄성 유체의 경우로 확장한다.
• 점성 및 열확산계수가 동시에 0으로 수렴할 때 선형화된 나비에-스토크스-푸아죄르 해의 균일 안정성을 엄밀히 확립한다.
• 점근 전개에서 점성 및 열 경계층 간의 결합을 고려한다.
• 가중치가 부여된 소볼레프 공간에서 에너지 방법을 사용하여 근사해에 대한 점별 오차 추정을 유도한다.

제안 방법

• 내부 해와 경계층 보정을 포함한 다중스케일 점근 해석을 통해 근사해를 형식적으로 구성한다.
• 경계 특성 변수를 도입하고, 점성 및 열 경계층에 대한 프랑틀 유사 방정식을 유도한다.
• 경계 근처에서의 성장 조절을 위해 $\langle z_1 \rangle^l$ 형태의 가중치를 갖는 가중치가 부여된 소볼레프 노름에서 에너지 추정을 적용한다.
• 비선형 및 도함수 항을 오차 방정식에서 유계로 제한하기 위해 공액자 추정과 부분 적분을 사용한다.
• 유도 및 반복 미분을 통해 시간 및 공간 도함수의 차수 $m$ 및 $s$까지의 사전 추정을 귀납법으로 유도한다.
• 오차에 대한 $L^2$-유형 에너지 추정을 확립하여, 작은 매개변수에 독립적인 균일한 유계를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점성 및 열확산계수가 동일한 비율로 0으로 수렴함에 따라 선형화된 압축성 나비에-스토크스-푸아죄르 방정식의 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 반평면 내 점성 및 열 효과가 동시에 존재할 경우 경계층의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 영점성 및 영열확산계수 극한에서 선형화된 시스템에 대해 균일 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 점근 전개에서 점성 및 열 경계층은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 나비에-스토크스 해가 극한에서 오일러 해로 수렴하는 속도는 무엇이며, 오차 추정을 통해 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 근사해는 선형화된 오일러 방정식을 만족하는 내부 항과, 상수 계수의 상미분방정식 및 프랑틀 유사 방정식을 만족하는 경계층 항을 포함한다.
• 점성 및 열 경계층이 상호 연결된 복합 구조가 나타나며, 두 경계층 간에 선형 결합이 존재한다.
• 가중치가 부여된 $L^2$ 공간에서 에너지 방법을 사용하여 근사해에 대한 점별 오차 추정을 도출한다.
• 속도 및 온도 성분의 오차는 작은 점성 및 확산계수 매개변수에 영향을 받지 않고 시간과 공간 전역에서 균일하게 유계이다.
• $\langle z_1 \rangle^l$ 형태의 가중치를 갖는 오차에 대한 $L^2$-유형 에너지 추정이 확립되어 경계 근처에서의 제어가 보장된다.
• 주요 결과는 점성 및 열확산계수가 동시에 0으로 수렴하는 극한에서 선형화된 나비에-스토크스-푸아죄르 해의 균일 안정성으로, 오차 유계가 적절한 노름에서 $\| \text{오차} \| \leq C \| \text{강제항} \|$ 형태로 표현된다.