[논문 리뷰] Zeros of polynomials orthogonal on several intervals

Franz Peherstorfer|ArXiv.org|2002. 03. 28.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 간격 위의 직교 다항식의 영점 분포에 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다. 각 간격 내 영점의 수에 대한 정확한 공식과 간격 간 틈새에서 영점이 나타나는 조건을 유도한다. 조화 측도와 리만 곡면 위의 자코비 역문제를 사용하여, 조화 측도가 유리수 독립일 경우, 틈새의 모든 점이 영점의 집적점이 되며, 그렇지 않으면 이러한 점이 유한 개 뿐임을 증명한다.

ABSTRACT

First a formula for the number of zeros of the orthogonal polynomial in the intervals is presented. Then a criteria about the appearance of a zero in a gap is given. Finally a necessary and sufficient condition is derived such that the zeros of the orthogonal polynomials have given accumulation points in the gaps. As a consequence it follows that every point from the gaps is an accumulation point of the zeros of the orthogonal polynomials, if the harmonic measures of the intervals are linearly independent over the rationals. If the harmonic measures are rational then there is a finite number of accumulation points only.

연구 동기 및 목표

• 서로소 간격의 합집합인 각 부분간격에서 직교 다항식의 정확한 영점 수를 결정하기 위해.
• 특히 틈새에서 영점이 집적되는지 여부를 고려할 때, 간격 간 틈새에 영점이 나타나는 조건을 설정하기 위해.
• 조화 측도의 유리수 독립성에 기반하여 틈새 내 영점의 집적점 집합을 특성화하기 위해.
• 단일 간격 직교 다항식의 고전 결과를 리만 곡면 이론과 포텐셜 이론의 고급 도구를 사용하여 더 복잡한 다중 간격의 경우로 확장하기 위해.

제안 방법

• 가중치 함수의 로그 평균값과 조화 측도 $\omega_j(\infty)$ 를 사용하여 각 간격 $E_j$ 내 영점 수에 대한 공식을 도출한다.
• Green 함수 이론과 $y^2 = H(x)$ 로 정의된 리만 곡면을 사용하여 직교 다항식의 점근적 행동을 분석한다.
• 리만 곡면 위의 자코비 역문제를 사용하여 영점 위치와 그 집적 정보를 인코딩한다.
• 베르슈타인-슈에츠오 가중치에 의한 근사화를 통해 일반 경우를 기존의 점근적 표현과 연결한다.
• 동시 디오판틴스 근사에 관한 크로네커의 보조정리를 적용하여 자코비 역문제의 해 수렴을 제어한다.
• 정규직교 다항식과 그 점근 전개에 대한 균일한 상한을 사용하여 틈새 내 집적점의 존재성과 위치를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합집합 $E = \bigcup_{j=1}^l E_j$ 의 각 간격 $E_j$ 에서 직교 다항식 $p_n$ 이 몇 개의 영점을 가지는가?
• RQ2 직교 다항식 $p_n$ 이 간격 $(a_{2j}, a_{2j+1})$ 에서 영점을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 영점의 집적점 집합이 간격 $[a_{2j}, a_{2j+1}]$ 에 조밀하게 분포하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 조화 측도가 유리수적으로 종속일 경우, 틈새 내 영점의 집적점 집합의 구조는 어떠한가?
• RQ5 포텐셜 이론과 대수기하학 도구를 사용하여 모든 $n$ 에 대해 영점 분포를 균일하게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 다항식 $p_n$ 이 각 간격 $E_j$ 에서 가지는 영점의 수는 $\left\lfloor n \omega_j(\infty) + \frac{1}{n} \log \left| \int_E \log |W| \, d\mu_e \right| \right\rfloor$ 또는 조화 측도와 가중치 평균을 포함한 유사한 표현으로 주어진다.
• 직교 다항식 $p_n$ 이 간격 $(a_{2j}, a_{2j+1})$ 에서 영점을 가지는 것은, 관련된 자코비 역문제의 해가 리만 곡면의 해당 지점에 있을 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 조화 측도 $\omega_1(\infty), \dots, \omega_{l-1}(\infty)$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 선형 독립일 경우, $[a_1, a_{2l}] \setminus E$ 의 모든 점이 $p_n$ 의 영점의 집적점이 된다.
• 조화 측도가 유리수일 경우, 즉 $\omega_j(\infty) = k_j/N$ 이면, 각 간격 내 집적점의 수는 최대 $N + 2$ 개이다.
• 정규직교 다항식 $P_n$ 의 점근적 행동은 리만 곡면 $y^2 = H(x)$ 위의 그린 함수와 자코비 역문제의 해에 의해 지배된다.
• 일부 디오판틴스 조건을 만족하는 수열 $n_\kappa$ 에 대해, $P_{n_\kappa}$ 의 영점은 틈새 내 임의의 사전에 정해진 유한 점 집합에 정확히 집적될 수 있다.