[논문 리뷰] Zeta functions and regularized determinants related to the Selberg trace formula

Arash Momeni, Alexei B. Venkov|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 29.

Advanced NMR Techniques and Applications참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유니터리 표현을 가진 푸크시안 군에 대해 제타 함수, 정규화된 행렬식, 그리고 셀버그의 추적 공식 사이의 새로운 연결 고리를 설정한다. 스펙트럼 이론을 통해 항등원, 쌍곡선, 타원, 포물선 기여에 대한 제타 함수의 행렬식 표현을 유도하고, 자크에-랑그랑스 상응을 통해 서로 다른 리만 곡면 위의 자동형 라플라스 연산자 간의 행렬식 항등식을 증명한다.

ABSTRACT

For a general Fuchsian group of the first kind with an arbitrary unitary representation we define zeta functions related to the contributions of the identity, hyperbolic, elliptic and parabolic conjugacy classes in Selberg's trace formula. We present Selberg's zeta function in terms of a regularized determinant of the automorphic Laplacian. We also present the zeta function for the identity contribution in terms of a regularized determinant of the Laplacian on the two dimensional sphere. We express the zeta functions for the elliptic and parabolic contributions in terms of certain regularized determinants of one dimensional Schroedinger operator for harmonic oscillator. We decompose the determinant of the automorphic Laplacian into a product of the determinants where each factor is a determinant representation of a zeta function related to Selberg's trace formula. Then we derive an identity connecting the determinants of the automorphic Laplacians on different Riemannian surfaces related to the arithmetical groups. Finally, by using the Jacquet-Langlands correspondence we connect the determinant of the automorphic Laplacian for the unit group of quaternions to the product of the determinants of the automorphic Laplacians for certain cogruence subgroups.

연구 동기 및 목표

• 첫 종류의 푸크시안 군과 유니터리 표현을 가진 경우, 셀버그의 추적 공식에서 각 동치류 유형(항등원, 쌍곡선, 타원, 포물선)에 관련된 제타 함수를 정의하기 위해.
• 셀버그의 제타 함수와 각 동치류 유형의 기여를 미분 연산자(라플라스 연산자, 슈뢰딩거 연산자)의 정규화된 행렬식으로 표현하기 위해.
• 자동형 라플라스 연산자의 정규화된 행렬식을 제타 함수와 관련된 행렬식들의 곱으로 분해하기 위해.
• 동치되는 푸크시안 군에 대한 행렬식 항등식을 도출하고, 허미션 단위군과 교차 하위군 사이의 자크에-랑그랑스 상응을 통해 연결 고리 형성하기 위해.
• 연속 스펙트럼과 공명을 가진 비콤팩트이고 유한 체적인 리만 곡면에 대해 정규화된 행렬식의 프레임워크를 확장하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럼 제타 정규화와 해석적 계속을 사용하여, 추적 공식의 기여를 통해 각 동치류 유형(I, H, E, P)에 대한 제타 함수를 정의한다.
• 항등원 기여 제타 함수를 2차원 구 위의 라플라스 연산자의 정규화된 행렬식으로 표현한다.
• 조화 진동자에 대한 일차원 슈뢰딩거 연산자의 정규화된 행렬식을 통해 타원 및 포물선 기여를 표현한다.
• 스펙트럼 제타 함수와 해석적 계속을 사용하여, 이산 고유값과 연속 스펙트럼을 포함하는 자동형 라플라스 연산자의 정규화된 행렬식을 정의한다.
• 절댓값이 1/2 + ε 이하인 영역 |Im(r)| < 1/2 + ε 내의 테스트 함수를 사용하여 셀버그의 추적 공식을 적용하고, 적분과 급수의 절대 수렴을 확보한다.
• 자크에-랑그랑스 상응을 활용하여, 허미션 대수의 단위군 위의 자동형 라플라스 연산자의 행렬식을 특정 교차 하위군 위의 행렬식 곱과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 셀버그의 추적 공식에서 각 동치류 유형에 관련된 제타 함수는 어떻게 미분 연산자의 정규화된 행렬식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 자동형 라플라스 연산자의 정규화된 행렬식과 항등원, 쌍곡선, 타원, 포물선 동치류 기여로의 분해 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 동치되는 푸크시안 군에 대한 행렬식 항등식은 자동형 형식의 스펙트럼 이론을 통해 어떻게 유도되는가?
• RQ4 자크에-랑그랑스 상응은 허미션 대수의 단위군 위의 자동형 라플라스 연산자의 행렬식을 교차 하위군 위의 것들과 어떻게 연결하는가?
• RQ5 연속 스펙트럼과 공명을 가진 비콤팩트이고 유한 체적인 리만 곡면에 대해 정규화된 행렬식은 어떻게 일관되게 정의될 수 있는가?

주요 결과

• 셀버그의 제타 함수는 스펙트럼 제타 정규화를 통해 자동형 라플라스 연산자의 정규화된 행렬식으로 표현된다.
• 항등원 기여 제타 함수는 2차원 구 위의 라플라스 연산자의 정규화된 행렬식으로 표현된다.
• 타원 및 포물선 기여는 조화 진동자에 대한 일차원 슈뢰딩거 연산자의 정규화된 행렬식으로 표현된다.
• 자동형 라플라스 연산자의 행렬식은 각 동치류 유형에 관련된 제타 함수와 관련된 행렬식들의 곱으로 분해된다.
• 콤팩트인 군의 경우, 추적 공식은 연속 스펙트럼과 포물선 항목을 생략하고 ∑h(λₖ) = I + H 로 간소화된다.
• 자크에-랑그랑스 상응은 허미션 대수의 단위군 위의 자동형 라플라스 연산자의 행렬식을 특정 교차 하위군 위의 행렬식 곱과 연결하는 행렬식 항등식을 도출한다.