[논문 리뷰] Zeta functions of Ramanujan graphs and modular forms

Kennichi Sugiyama|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 10.

Graph theory and applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 라만두잔 그래프의 이하라 제타 함수와 모듈라 곡선 $X_0(N)$의 하세-베일 제타 함수 사이에 깊은 연결을 확립한다. 슈퍼싱귤라 라만두잔 곡선의 브란트 행렬로부터 $(p+1)$-정규 라만두잔 그래프 $G_N(p)$를 구성함으로써, 저자들은 두 제타 함수가 상호 역수임을 보이고, 무게 2 헤케 고유형식의 푸리에 계수에 대한 합동식을 도출하며, 클래스 수 공식의 유사체를 통해 그래프의 복잡성과 모듈라 형식을 연결한다.

ABSTRACT

We will investigate the relationship between Ihara's zeta functions of Ramanujan graphs and Hasse-Weil's congruent zeta functions of modular curves. As an application we will describe the limit value of Hasse-Weil's congruent zeta functions in terms of the corresponding Ramanujan graphs. Moreover we will show a congruence relation of the Fourier coefficients of a normalized Hecke eigenform of weight 2.

연구 동기 및 목표

• 라만두잔 그래프의 이하라 제타 함수와 유한체 위의 모듈라 곡선의 하세-베일 제타 함수 사이의 관계를 탐색한다.
• 모듈라 곡선 $X_0(N)$의 슈퍼싱귤라 타원곡선에 대한 브란트 행렬로부터 $N \equiv 1 \pmod{12}$ 일 때 라만두잔 그래프의 가족 $G_N(p)$를 구성한다.
• 그래프 $G_N(p)$와 $X_0(N)_\mathbb{F_p}$의 제타 함수 사이의 상호 역수 관계를 확립하고, 클래스 수 공식의 유사체를 일반화한다.
• 정규화된 무게 2 헤케 고유형식의 푸리에 계수에 대한 합동식을 유도한다.

제안 방법

• 스펙트럼 경계와 아이히러-시무라 관계, 위르의 추측을 이용하여, $N \equiv 1 \pmod{12}$ 일 때, 슈퍼싱귤라 타원곡선 위에서 작용하는 헤케 연산자 $T_p$의 브란트 행렬 $B(p)$로부터 유도된 인접행렬을 사용하여 그래프 $G_N(p)$를 구성한다.
• 스펙트럼 경계를 이용하여, $N \equiv 1 \pmod{12}$ 일 때 $G_N(p)$가 연결된 $(p+1)$-정규 라만두잔 그래프임을 증명한다.
• $l$-adic 에테일 코hom로지와 프로베누스 작용을 통해, $X_0(N)_\mathbb{F_p}$의 하세-베일 제타 함수를 표현하기 위해 그로텐디크-레프셰츠 추적 공식을 사용한다.
• 헤케 연산자 $T_p$의 고유값을 포함하는 행렬식 항등식을 통해, 이하라 제타 함수 $Z(G_N(p);t)$와 하세-베일 제타 함수 $W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$ 사이의 상호 역수 관계를 확립한다.
• 그래프의 복잡성 $\tau(G_N(p))$를 $t=1$에서 하세-베일 제타 함수의 극한과 연결하여, 클래스 수 공식의 유사체에 해당하는 공식을 도출한다.
• $\mu_N(p) = \sum_{i=1}^{n-1} a_p(f_i)$의 합동식을 유도하여, $p+1 \equiv 0 \pmod{n}$ 인 소수 $p$에 대해 $n = (N-1)/12$ 으로 나누어 떨어짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라만두잔 그래프의 이하라 제타 함수와 모듈라 곡선의 하세-베일 제타 함수는 어떤 방식으로 유한체 위에서 관련이 있는가?
• RQ2 라만두잔 그래프의 제타 함수를 사용하여 모듈라 곡선 $X_0(N)$의 하세-베일 제타 함수를 표현하거나 복원할 수 있는가?
• RQ3 구성된 라만두잔 그래프 $G_N(p)$의 복잡성 $\tau(G_N(p))$는 어떤 산술적 의미를 갖는가?
• RQ4 무게 2 헤케 고유형식의 푸리에 계수 $a_p(f_i)$의 합은 $n = (N-1)/12$ 모듈로에서 합동식을 만족하는가?
• RQ5 그래프 인접행렬 $B(p)$의 스펙트럼 성질을 이용하여 모듈라 형식의 산술 불변량을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 하세-베일 제타 함수 $W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$와 이하라 제타 함수 $Z(G_N(p);t)$는 상호 역수이다: $W \cdot Z = \frac{1}{(1-t)^2(1-pt)^2(1-t^2)^{n(p-1)/2}}$.
• $\lim_{t\to 1} (t-1)W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t) = \frac{n \tau(G_N(p))}{p-1}$ 이며, 이는 그래프의 복잡성과 제타 함수의 잔여치를 연결한다.
• $G_N(p)$는 연결된 $(p+1)$-정규 라만두잔 그래프이며, 이는 이중적이지 않으며, 고유값이 $|\lambda| \leq 2\sqrt{p}$ 로 유계이다.
• 정규화된 헤케 고유형식의 푸리에 계수 $a_p(f_i)$는 $p+1 \equiv 0 \pmod{n}$ 인 소수 $p$에 대해 $\sum_{i=1}^{n-1} a_p(f_i) \equiv 0 \pmod{n}$ 를 만족한다.
• $\tau(G_N(p))$는 $\frac{(√p-1)^{2(n-1)}}{n} \leq \tau(G_N(p)) \leq \frac{(√p+1)^{2(n-1)}}{n}$ 의 부등식을 만족한다.
• 수치 표는 $N=37, 61, 73$ 에 대해 $\mu_N(p) = \sum a_p(f_i)$ 가 $n$ 으로 나누어 떨어짐을 확인하며, 명시적 계산을 통해 $\mu_N(p) \in n\mathbb{Z}$ 임을 보여준다.