[논문 리뷰] ZX-Calculus: Cyclotomic Supplementarity and Incompleteness for Clifford+T quantum mechanics

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원분 보조 규칙—원분 기하학적 성질을 활용해 원을 등분하는 각도를 가진 n개의 부분도형을 통합하는 ZX-계산법의 보완 규칙 일반화—을 제안한다. 소수 n이 홀수일 경우 이 규칙이 기존 공리계로부터 유도될 수 없음을 증명함으로써, 클리포드+T 조각의 완전성 부족을 입증하고, 무한한 원분 보조 규칙 집합과 재수정된 스칼라 규칙을 포함하는 새로운 완전한 공리계를 제안한다.

ABSTRACT

The ZX-Calculus is a powerful graphical language for quantum mechanics and quantum information processing. The completeness of the language -- i.e. the ability to derive any true equation -- is a crucial question. In the quest of a complete ZX-calculus, supplementarity has been recently proved to be necessary for quantum diagram reasoning (MFCS 2016). Roughly speaking, supplementarity consists in merging two subdiagrams when they are parameterized by antipodal angles. We introduce a generalised supplementarity -- called cyclotomic supplementarity -- which consists in merging n subdiagrams at once, when the n angles divide the circle into equal parts. We show that when n is an odd prime number, the cyclotomic supplementarity cannot be derived, leading to a countable family of new axioms for diagrammatic quantum reasoning.We exhibit another new simple axiom that cannot be derived from the existing rules of the ZX-Calculus, implying in particular the incompleteness of the language for the so-called Clifford+T quantum mechanics. We end up with a new axiomatisation of an extended ZX-Calculus, including an axiom schema for the cyclotomic supplementarity.

연구 동기 및 목표

• ZX-계산법에서 양자역학의 클리포드+T 조각에 대한 오랜 동안 미해결된 완전성 문제를 해결하기 위해.
• 원을 등분하는 각도를 가진 n부분 도형의 통합을 가능하게 하는 보완 규칙을 일반화하여 원분 보조 규칙을 도입하기 위해.
• n이 홀수 소수일 경우 이 일반화된 규칙이 기존 ZX-계산법 공리계로부터 유도될 수 없음을 입증하여, 기존 공리계가 클리포드+T 조각에 대해 완전하지 않음을 시사하기 위해.
• 원분 보조 규칙과 재수정된 스칼라 규칙을 추가하여 새로운 완전한 ZX-계산법 공리계를 제안함으로써 기존의 오래된 규칙을 대체하기 위해.

제안 방법

• 각도가 단위 원을 n등분하는 n개의 부분도형을 통합할 수 있도록 하는 원분 보조 규칙을 도입한다.
• 행렬 기반 해석과 대수적 수론을 활용하여, 일부 스칼라 등식(예: arccos(√(2/3))를 포함하는 등)이 기존 규칙으로부터 유도될 수 없음을 입증한다.
• Schr"oder de Witt 및 Zamdzhiev의 증명 기법을 수정하여, 각도를 곱하는 해석 방식을 적용해 무한한 수의 도형 집합을 구성한다.
• Cohn의 기약성 기준을 활용하여 특정 각도(예: α₀ = ±π/2 ± arccos(√(2/3)))가 π의 유리수 배가 아니라는 것을 증명함으로써, 그 유도 불가능성을 입증한다.
• 모든 규칙을 유지하지만 원분 보조 규칙만 무시하는 해석 집합 J·K♯_{k,l}를 구성하여, 새로운 규칙의 독립성을 입증한다.
• 역행과 영 규칙을 새로운 스칼라 규칙으로 대체하고, 새로운 공리계 하에서 이들이 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보완 규칙은 원을 등분하는 각도를 가진 n개의 부분도형을 통합할 수 있도록 일반화될 수 있으며, 이러한 일반화된 규칙은 기존 ZX-계산법 공리계로부터 유도 가능한가?
• RQ2 ZX-계산법의 클리포드+T 조각은 완전한가? 만약 그렇지 않다면, 완전성을 달성하기 위해 어떤 새로운 공리가 필요한가?
• RQ3 n의 어떤 값에 대해 원분 보조 규칙이 기존 ZX-계산법 공리계와 독립적인가?
• RQ4 새로운 스칼라 규칙은 역행과 영 규칙을 대체할 수 있으며, 완전성은 유지되는가?
• RQ5 원분 보조 규칙의 추가로 일반 ZX-계산법의 완전성은 복원되는가?

주요 결과

• 홀수 소수 n에 대해 원분 보조 규칙은 기존 ZX-계산법 공리계로부터 유도될 수 없으며, 이는 클리포드+T 조각에 대해 언어가 완전하지 않음을 증명한다.
• 이 논문은 arccos(√(2/3))를 포함하는 특정 스칼라 등식이 매트릭스적으로 참이지만 도형적으로는 유도될 수 없음을 규명하여, 완전성 부족을 입증한다.
• α₀ = ±π/2 ± arccos(√(2/3))는 ℤ 위에서 다항식 3X⁴ + 2X² + 3의 기약성 증명을 통해 π의 유리수 배가 아니라는 것이 입증된다.
• 클리포드+T 조각의 완전성을 달성하기 위해 원분 보조 규칙의 무한한 집합(모든 홀수 소수 n에 대해)이 필요하다.
• 재수정된 스칼라 규칙과 원분 보조 규칙을 포함하는 새로운 공리계는 일반 ZX-계산법의 완전성을 복원한다.
• 완전성 부족의 증명은 각도를 곱하는 해석 J·K♯_{k,l}와 정수 집합 S를 활용하여 적응되었으며, D1은 D2 형식의 분해가 유한히 존재하지만 S에 대해 무한히 많은 서로 다른 해석을 가짐을 보여준다.