[논문 리뷰] 1D Schrödinger operator with periodic plus compactly supported potentials

Evgeny Korotyaev|ArXiv.org|2009. 04. 18.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 주기적 포텐셜에 컴팩트리 스포티드 교란을 더한 1차원 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼 성질을 연구한다. 고에너지 영역에서 고유값과 공명의 점 游 분포를 도출하고, 총 포텐셜 적분이 0일 경우 각 비퇴화 갭에는 두 개의 고유값과 항-bound 상태가 없거나, 두 개의 항-bound 상태와 고유값이 없이 존재함을 증명하며, 각 갭에 주어진 유한한 유니크한 유니크한 상태 수열을 실현할 수 있는 포텐셜을 구성한다.

ABSTRACT

We consider the 1D Schrödinger operator $Hy=-y''+(p+q)y$ with a periodic potential $p$ plus compactly supported potential $q$ on the real line. The spectrum of $H$ consists of an absolutely continuous part plus a finite number of simple eigenvalues in each spectral gap $\g_n e \es, n\geq 0$, where $\g_0$ is unbounded gap. We prove the following results: 1) we determine the distribution of resonances in the disk with large radius, 2) a forbidden domain for the resonances is specified, 3) the asymptotics of eigenvalues and antibound states are determined, 4) if $q_0=\int_\R qdx=0$, then roughly speaking in each nondegenerate gap $\g_n$ for $n$ large enough there are two eigenvalues and zero antibound state or zero eigenvalues and two antibound states, 5) if $H$ has infinitely many gaps in the continuous spectrum, then for any sequence $\s=(\s)_1^\iy, \s_n\in \{0,2\}$, there exists a compactly supported potential $q$ such that $H$ has $\s_n$ bound states and $2-\s_n$ antibound states in each gap $\g_n$ for $n$ large enough. 6) For any $q$ (with $q_0=0$), $\s=(\s_n)_{1}^\iy$, where $\s_n\in \{0,2\}$ and for any sequence $\d=(\d_n)_1^\iy\in \ell^2, \d_n>0$ there exists a potential $p\in L^2(0,1)$ such that each gap length $|\g_n|=\d_n, n\ge 1$ and $H$ has exactly $\s_n$ eigenvalues and $2-\s_n$ antibound states in each gap $\g_n e \es$ for $n$ large enough.

연구 동기 및 목표

• Schroedinger 연산자 $ H = -y'' + (p + q)y $ 의 스펙트럼 구조를 분석하는 것, 여기서 $ p $ 는 1주기이며 $ q $ 는 컴팩트리 스포티드이다.
• 특성 갭 내에서 $ H $ 의 공명과 고유값의 분포를 규명하는 것, 특히 고에너지 영역에서의 분포를 다룬다.
• 총 포텐셜 적분 $ q_0 = 0 $ 이면, 주어진 갭 내 유한한 bound 및 antibound 상태 수열을 실현할 수 있는 포텐셜 $ q $ 가 존재함을 증명하는 것.
• 각 갭 내에서 상태 수를 주어진 수열로 실현할 수 있도록, 갭 길이 $ \delta_n \in \ell^2 $ 를 갖는 주기적 포텐셜 $ p \in L^2(0,1) $ 를 구성하는 것, 이때 $ H $ 는 주어진 상태 수열을 실현한다.

제안 방법

• 스펙트럼 분석을 위해 두 겹의 리만 표면 $ \Lambda $ 를 정의하기 위해 라풀로프 함수 $ \Delta(z) = \frac{1}{2}(\varphi'(1,z) + \vartheta(1,z)) $ 와 함수 $ \Omega(\lambda) = (1 - \Delta^2(\sqrt{\lambda}))^{1/2} $ 를 사용한다.
• 고유값에 해당하는 극을 갖는 메로모르픽 함수 $ D(\lambda) = \det(I + q(H_0 - \lambda)^{-1}) $ 를 분석하고, 점근적 제어를 향상시키기 위해 수정된 함수 $ \Xi = 2i\Omega D $ 를 도입한다.
• 레빈슨 정리와 영역 내 영점의 점근적 수세기와 같은 복소해석학 도구를 적용하여 큰 원판 내 공명과 고유값의 수를 유도한다.
• 스캐터링 행렬과 S-행렬 전달 계수 $ 1/D $ 를 사용하여 스펙트럼 자료를 포텐셜 교란 $ q $ 와 연결한다.
• 힐버트 공간의 포텐셜과 $ \ell^2 \oplus \ell^2 $ 간의 실해석적 동형사상(이소모르피즘)을 활용하여 갭 길이와 위상 매개변수를 제어한다.
• 위상 매개변수 $ \tau_n $ 을 구성하고, $ R_n = -|\widehat{q}_n|\cos(\phi_n + \tau_n) $ 의 점근적 전개를 사용하여 각 갭 내 bound 및 antibound 상태의 수를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 + 컴팩트리 스포티드 포텐셜을 가진 슈뢰딩거 연산자에 대해, 복소평면 내 큰 원판 $ |\lambda| \leq r $ 에서 공명이 어떻게 분포하는가?
• RQ2 스펙트럼 갭 내에서 공명의 금지 영역은 무엇이며, 이는 고유값과 공명의 위치를 어떻게 제약하는가?
• RQ3 특히 $ \int_{\mathbb{R}} q(x)dx = 0 $ 일 경우, 고유값과 antibound 상태의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 각 갭 내에서 bound 및 antibound 상태의 주어진 수열 $ \sigma_n \in \{0,2\} $ 을 실현하기 위해 적절한 컴팩트리 스포티드 포텐셜 $ q $ 를 선택할 수 있는가?
• RQ5 주어진 수열 $ \delta_n \in \ell^2 $ 에 대해, $ H_0 $ 의 갭 길이 $ |\gamma_n| = \delta_n $ 를 갖는 주기적 포텐셜 $ p \in L^2(0,1) $ 를 구성할 수 있는가? 그리고 $ H $ 가 주어진 상태 수열 $ \sigma_n $ 을 실현할 수 있는가?

주요 결과

• 큰 $ r $ 에 대해, 두 섹터 $ |\arg z|, |\arg z - \pi| < \delta $ 를 제외한 영역 내에서 원판 $ |\lambda| \leq r $ 에 포함된 공명의 수는 $ o(r) $ 이다. 이는 공명의 분포가 제한되어 있음을 시사한다.
• 만약 $ q_0 = 0 $ 이면, 모든 충분히 큰 $ n $ 에 대해 각 비퇴화 스펙트럼 갭 $ \gamma_n $ 은 두 개의 고유값과 항-bound 상태가 없거나, 두 개의 항-bound 상태와 고유값이 없는 경우를 포함한다.
• 만약 $ H_0 $ 가 무한히 많은 갭을 갖는다면, 임의의 수열 $ \sigma = (\sigma_n)_{n=1}^\infty $ 에 대해 $ \sigma_n \in \{0,2\} $ 이면, $ H $ 가 각 갭 $ \gamma_n \neq \emptyset $ 에서 정확히 $ \sigma_n $ 개의 bound 상태와 $ 2 - \sigma_n $ 개의 antibound 상태를 갖는 컴팩트리 스포티드 포텐셜 $ q $ 가 존재한다.
• 모든 $ q $ 에 대해 $ q_0 = 0 $ 이고, 임의의 수열 $ \sigma_n \in \{0,2\} $ 과 모든 $ \delta = (\delta_n)_{n=1}^\infty \in \ell^2 $ 에 대해 $ \delta_n > 0 $ 이면, $ |\gamma_n| = \delta_n $ 이고, $ H $ 가 각 갭 $ \gamma_n \neq \emptyset $ 에서 정확히 $ \sigma_n $ 개의 고유값과 $ 2 - \sigma_n $ 개의 antibound 상태를 갖는 주기적 포텐셜 $ p \in L^2(0,1) $ 가 존재한다.
• 고유값 $ \lambda_n^\pm $ 이 갭 $ \gamma_n $ 내에서 점근적으로 위치하는 것은 $ \sqrt{\lambda_n^\pm} = \sqrt{E_n^\pm} \mp \frac{2|\gamma_n|}{(4\pi n)^3}(R_n + O(1/n))^2 $ 로 주어지며, 여기서 $ R_n = -|\widehat{q}_n|\cos(\phi_n + \tau_n) $ 이다.
• 스캐터링 함수의 허수부는 $ (-1)^{n+1}J(\lambda_n^\pm) = \frac{|\gamma_n|}{(2\pi n)^2}(R_n + O(1/n)) $ 를 만족하며, 이는 스펙트럼 자료를 $ q $ 의 푸리에 계수와 연결한다.