[논문 리뷰] 4-Adic Complexity of Interleaved Quaternary Sequences

Shiyuan Qiang, Xiaoyan Jing외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 28.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이상적 자기상관성을 가진 두 개의 이진열을 교차하여 구성한 4진열의 4-adic 복잡도에 대한 일반적인 공식을 유도한다. 이는 4-adic 복잡도가 $\log_4(4^n - 1)$ 이상임을 증명하며, 많은 표준 이진열(이중순환열, 레지오드, 쌍소수, 홀 순열)의 경우 이론적 최댓값인 $\log_4(4^{2n} - 1)$에 도달하거나 거의 도달함을 보이며, 이는 유리수 근사 공격에 대한 강력한 저항성을 확인한다.

ABSTRACT

Tang and Ding \cite{X. Tang} present a series of quaternary sequences $w(a, b)$ interleaved by two binary sequences $a$ and $b$ with ideal autocorrelation and show that such interleaved quaternary sequences have optimal autocorrelation. In this paper we consider the 4-adic complexity $FC_{w}(4)$ of such quaternary sequence $w=w(a, b)$. We present a general formula on $FC_{w}(4)$, $w=w(a, b)$. As a direct consequence, we obtain a general lower bound $FC_{w}(4)\geq\log_{4}(4^{n}-1)$ where $2n$ is the period of the sequence $w$. By taking $a$ and $b$ to be several types of known binary sequences with ideal autocorrelation ($m$-sequences, twin-prime, Legendre, Hall sequences and their complement, shift or sample sequences), we compute the exact values of $FC_{w}(4)$, $w=w(a, b)$ and show that in most cases $FC_{w}(4)$ reaches or nearly reaches the maximum value $\log_{4}(4^{2n}-1)$. Our results show that the 4-adic complexity of the quaternary sequences defined in \cite{X. Tang} are large enough to resist the attack of the rational approximation algorithm.

연구 동기 및 목표

• 이상적 자기상관성을 가진 두 개의 이진열을 교차하여 구성한 4진열의 4-adic 복잡도를 분석하기 위해.
• 이러한 교차된 열의 4-adic 복잡도에 대한 일반적인 공식을 수립하기 위해.
• 암호학적 응용에서 유리수 근사 알고리즘을 저항하기 위해 4-adic 복잡도가 충분히 높은지 평가하기 위해.
• 이상적 자기상관성을 가진 특정 알려진 이진열에서 유도된 순열의 정확한 4-adic 복잡도 값을 계산하기 위해.

제안 방법

• 4-adic 복잡도의 일반적인 표현식을 유도한다: $FC_w(4) = \log_4\left(\frac{4^{2n}-1}{\gcd(S(4), 4^{2n}-1)}\right)$, 여기서 $S(4)$는 4진열의 정수 표현이다.
• 중국인의 나머지 정리를 사용하여 홀수 주기 $n \equiv 3 \pmod{4}$를 가진 두 개의 이진열로 구성된 교차된 순열의 구조를 분석한다.
• 순환수와 가우스 합의 성질을 적용하여 특정 이진열에 대해 $S(4) \mod (4^{2n} - 1)$를 평가한다.
• $\gcd(S(4), 4^{2n} - 1)$를 분석하여 4-adic 복잡도를 결정한다.
• 모듈로 산술과 소수 인수 분석을 포함한 수론적 기법을 사용하여 $d = \gcd(S(4), 4^{2n} - 1)$의 정확한 값을 계산한다.
• большин의 순열 유형에서 $FC_w(4)$가 이론적 최댓값인 $\log_4(4^{2n} - 1)$에 도달하거나 거의 도달함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이상적 자기상관성을 가진 두 개의 이진열을 교차하여 구성한 4진열의 4-adic 복잡도에 대한 일반적인 공식은 무엇인가요?
• RQ2 이러한 교차된 순열의 4-adic 복잡도는 이론적 최댓값인 $\log_4(4^{2n} - 1)$와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 특정 이진열 유형(이중순환열, 레지오드, 쌍소수, 홀 순열)에 대해 4-adic 복잡도의 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ4 4-adic 복잡도가 유리수 근사 알고리즘을 저항하기 위해 요구되는 임계값 $\frac{N - 16}{6}$를 초월하는가?
• RQ5 이론적 구조에 기반한 수론적 방법을 사용하여 4-adic 복잡도를 정확히 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 교차된 4진열의 4-adic 복잡도는 $FC_w(4) \geq \log_4(4^n - 1)$를 만족하며, 여기서 $2n$은 순열의 주기이다.
• 이중순환열, 레지오드 순열, 쌍소수 순열, 홀 순열의 경우 4-adic 복잡도는 이론적 최댓값인 $\log_4(4^{2n} - 1)$에 도달하거나 매우 가까이 도달한다.
• 이중순환열 또는 레지오드 순열이 주기 $p \equiv 3 \pmod{4}$를 가질 경우, $p \not\equiv 2 \pmod{5}$이면 4-adic 복잡도는 정확히 $\log_4(4^{2p} - 1)$이며, $p \equiv 2 \pmod{5}$이면 $\log_4\left(\frac{4^{2p} - 1}{5}\right)$이다.
• 이러한 이진열의 보완, 이동, 또는 샘플링된 변형으로 구성된 순열의 4-adic 복잡도 역시 높은 편이며, 일반적으로 최댓값 또는 근사 최댓값을 달성한다.
• 결과적으로 이러한 4진열이 유리수 근사 알고리즘에 대해 안전하다는 것이 확인되었으며, 그 이유는 4-adic 복잡도가 요구되는 임계값 $\frac{N - 16}{6}$를 초월하기 때문이다.
• 분석을 통해 4-adic 복잡도가 기초가 되는 이진열의 대수적 구조에 매우 의존하며, 수론적 도구를 사용하여 정확히 계산할 수 있음을 보여준다.