[논문 리뷰] A 2Cat-inspired model structure for double categories

Lyne Moser, Maru Sarazola외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 29.

Topic Modeling참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2-카테고리의 모델 구조를 참고하여 이중 카테고리와 이중 함자의 범주에 새로운 모델 구조를 구성한다. 이는 2-카테고리의 수평 통합이 이중 카테고리로 이르는 함자로서 좌측 및 우측 쿠일렌 함자이자, 호모토피적으로 완전충실함을 보장하며, 2-카테고리와 이중카테고리의 호모토피 이론을 복원한다. 핵심 결과는 이중 함자에 대한 화이트헤드 정리로, 약한 동치는 수평 이중 자연동치에 관하여 역함수를 갖는 이중 함자로 특징지어진다.

ABSTRACT

We construct a model structure on the category $\mathrm{DblCat}$ of double categories and double functors. Unlike previous model structures for double categories, it recovers the homotopy theory of 2-categories through the horizontal embedding $\mathbb{H}\colon2\mathrm{Cat} o\mathrm{DblCat}$, which is both left and right Quillen, and homotopically fully faithful. Furthermore, we show that Lack's model structure on $2\mathrm{Cat}$ is both left- and right-induced along $\mathbb{H}$ from our model structure on $\mathrm{DblCat}$. In addition, we obtain a $2\mathrm{Cat}$-enrichment of our model structure on $\mathrm{DblCat}$, by using a variant of the Gray tensor product. Under certain conditions, we prove a Whitehead theorem, characterizing our weak equivalences as the double functors which admit an inverse pseudo double functor up to horizontal pseudo natural equivalence. This retrieves the Whitehead theorem for 2-categories. Analogous statements hold for the category $\mathrm{wkDblCat}_s$ of weak double categories and strict double functors, whose homotopy theory recovers that of bicategories. Moreover, we show that the full embedding $\mathrm{DblCat} o\mathrm{wkDblCat}_s$ is a Quillen equivalence.

연구 동기 및 목표

• 이중 카테고리의 범주에 모델 구조를 구성하여, 수평 통합을 통해 2-카테고리의 호모토피 이론을 복원하는 것.
• 수평 통합 함자 H: 2Cat → DblCat 가 좌측 및 우측 쿠일렌 함자임을 보장하여 호모토피적 구조를 유지하는 것.
• 이중 카테고리에 대해 화이트헤드 정리를 수립하여, 약한 동치는 수평 이중 자연동치에 관하여 역함수를 갖는 이중 함자로 특징지어지는 것.
• 이중 카테고리의 모델 구조를 약한 이중 카테고리로 확장하고, 엄격한 이중 카테고리로의 포함 함자가 쿠일렌 동치임을 보이는 것.
• 이중 카테고리의 모델 구조를 2Cat-풍부화를 사용하여 변형된 그레이 텐서 곱을 통해 풍부화하는 것.

제안 방법

• Lack의 모델 구조를 참고하여 2Cat에서 유도된 생성 (역) 코휴합 기반으로 DblCat에 모델 구조를 구성한다.
• H: 2Cat → DblCat 를 수평 통합 함자로 정의하며, 이는 완전충실함자이자 좌측 및 우측 쿠일렌 함자로서 호모토피 이론적 호환성을 보장한다.
• 변형된 그레이 텐서 곱을 사용하여 DblCat의 모델 구조에 2Cat-풍부화를 도입한다.
• 수평 사상과 사각형을 몰아내어 결합자와 항등원을 항등함수로 만드는 엄격화 함자 S: wkDblCat_s → DblCat 를 정의한다.
• DblCat 와 wkDblCat_s 사이의 수반 관계 S ⊣ I 를 수립하며, I 는 포함 함자이고, 이가 쿠일렌 동치임을 증명한다.
• DblCat 와 wkDblCat_s 가 모두 피브레이션 대상들을 지닌다는 사실을 활용하고, 유도된 단위를 사용하여 수평 및 수직 이중카테고리의 이중동치 조건을 통해 쿠일렌 동치를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 카테고리의 모델 구조를 구성할 수 있는가? 이때 수평 통합 함자 H: 2Cat → DblCat 가 양방향으로 쿠일렌 함자임을 보장할 수 있는가?
• RQ2 약한 동치가 수평 이중 자연동치에 관하여 역함수를 갖는 이중 함자로 특징지어지는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이중 카테고리의 호모토피 이론은 이중카테고리와 어떻게 관련되어 있으며, 엄격한 이중 카테고리로의 포함 함자가 쿠일렌 동치가 될 수 있는가?
• RQ4 2Cat-풍부화된 이중 카테고리 모델 구조는 2-카테고리 호모토피 이론을 어느 정도 반영하는가?
• RQ5 수평 통합 함자 H: 2Cat → DblCat 는 호모토피적으로 완전충실한가? 또한 Lack 모델 구조의 약한 동치를 유지하는가?

주요 결과

• DblCat 에 구성된 모델 구조는 수평 통합 H: 2Cat → DblCat 가 좌측 및 우측 쿠일렌 함자임을 보장하며, 이로 인해 호모토피적으로 완전충실함을 확보한다.
• DblCat 의 모델 구조는 2-카테고리의 호모토피 이론을 복원하며, 2Cat 의 Lack 모델 구조는 H 를 따라 좌측 및 우측 유도됨을 보여준다.
• 화이트헤드 정리 수립: 이중 함자는 수평 이중 자연동치에 관하여 역함수를 갖는 이중 함자일 때 약한 동치이다.
• 포함 함자 I: DblCat → wkDblCat_s 는 쿠일렌 동치이며, 이는 약한 이중 카테고리의 호모토피 이론이 엄격한 이중 카테고리의 이론을 복원함을 보여준다.
• DblCat 의 모델 구조는 변형된 그레이 텐서 곱을 통해 2Cat-풍부화가 달성되며, 이는 2-카테고리 이론과 호환되는 방식으로 호모토피적 구조를 풍부화한다.
• 수반 관계 S ⊣ I 의 유도된 단위는 이중 이중동치이며, 단위의 2-세포에 대한 충실성은 수평 및 수직 이중카테고리에서의 대응 단위의 충실성으로 환원하여 증명된다.