[论文解读] A Batalin-Vilkovisky Algebra structure on the Hochschild Cohomology of Truncated Polynomials

Tian Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文计算了截断多项式代数 $ R[x]/(x^{n+1}) $ 的 Hochschild上同调上的 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构，其中 $ R = \bbZ $，一个域 $ \bk $，或 $ \bbF_p $，且 $ p \neq 2 $。结果表明，尽管 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; R); C^*(\bbC P^n; R)) $ 上的 BV 结构与自由环路空间上同调 $ \bH_*(L\bbC P^n; R) $ 上的 BV 结构作为 BV 代数不构同，但它们诱导出的 Gerstenhaber 结构是构同的，并在所有情况下提供了 BV 算子 $ \Delta $ 和 Gerstenhaber 李括号的显式公式，包括当 $ n = kp - 1 $ 时的特殊 $ p $-挠率情形。这完成了对 $ \bbC P^n $ 和 $ \bbH P^n $ 的有理环路上同调 BV 结构的完整计算。

ABSTRACT

The main result of this paper is to calculate the Batalin-Vilkovisky structure of $HH^*(C^*(\mathbf{K}P^n;R);C^*(\mathbf{K}P^n;R))$ for $ \mathbf{K}=\mathbb{C}$ and $\mathbb{H}$, and $R=\mathbb{Z}$ and any field; and shows that in the special case when $M=\mathbb{C}P^1=S^2$, and $R=\mathbb{Z}$, this structure can not be identified with the BV-structure of $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{Z})$ computed by Luc Memichi in \cite{menichi2}. However, the induced Gerstenhaber structures are still identified in this case. Moreover, according to a recent work of Y.Felix and J.Thomas \cite{felix--thomas}, the main result of the present paper eventually calculates the BV-structure of the rational loop homology, $\mathbb{H}_*(L\mathbb{C}P^n;\mathbb{Q})$ and $\mathbb{H}_*(L\mathbb{H}P^n;\mathbb{Q})$, of projective spaces.

研究动机与目标

• 计算 $ R = \bbZ $，任意域 $ \bk $，以及 $ \bbF_p $（$ p \neq 2 $）时，$ HH^*(C^*(\bbC P^n; R); C^*(\bbC P^n; R)) $ 上的 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构。
• 确定 $ HH^* $ 上的 BV 结构是否与自由环路空间上同调 $ \bH_*(L\bbC P^n; R) $ 上的 BV 结构构同，特别是在 $ \bbC P^1 = S^2 $ 且 $ R = \bbZ $ 的情形下。
• 通过 Cohen-Jones 构同，将已知的环路上同调 BV 结构结果推广至有理数和整数系数，利用 Hochschild 上同调与环路上同调之间的构同。
• 通过计算 $ p $-挠率情形下的 Hochschild 上同调，解决 Luc Menichi 关于 $ \bbC P^{p-1} $ 在 $ \bbF_p $ 上的 BV 结构不构同的猜想。
• 对 $ A = R[x]/(x^{n+1}) $ 的 $ HH^*(A; A) $ 上的 BV 代数结构进行完整分类，包括特征 $ p $ 下 $ n = kp - 1 $ 的情形，此时由于 $ p $-挠率的存在，代数关系发生改变。

提出的方法

• 使用截断多项式代数 $ A = R[x]/(x^{n+1}) $ 的 2-周期化解析，其中 $ |x| = 2m $，并构造从上链复形 $ C^*(A; A) $ 到周期化解析 $ P^* $ 的链映射 $ \varphi^* $。
• 将 $ HH^*(A; A) $ 的生成元识别为 $ x $、$ u $、$ t $（在特征 $ p $ 情形下为 $ v $），其次数分别为 $ |x| = -2m $，$ |u| = -1 $，$ |t| = 2mn + 2(m-1) $，在 $ p $-挠率情形下 $ |v| = 2m - 1 $。
• 显式计算了在单项式 $ t^k x^l $ 和 $ t^k u x^l $（或 $ t^k v x^l $）上 BV 算子 $ \Delta $ 的作用，表明 $ \Delta(t^k x^l) = 0 $，且 $ \Delta(t^k u x^l) = (-(k+1)n - k + l) t^k x^l $，在特征 $ p $ 情形下当 $ n = kp - 1 $ 时有不同公式。
• 通过在解析中显式计算上积，验证了 $ u^2 = 0 $ 与 $ v^2 = 0 $（或在 $ \bbF_2 $ 中 $ v^2 = \frac{n+1}{2} t x^{n-1} $）。
• 将结果应用于 $ M = \bbC P^1 = S^2 $ 的情形，表明 $ HH^*(C^*(S^2; \bbZ); C^*(S^2; \bbZ)) $ 作为 BV 代数不构同于 $ \bH_*(LS^2; \bbZ) $，尽管它们的 Gerstenhaber 结构构同。
• 利用 Felix 和 Thomas 的工作，将计算结果提升至有理环路上同调，得出结论：$ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ 与 $ \bH_*(L\bbH P^n; \bk) $ 上的 BV 代数结构与通过 Hochschild 上同调计算出的结构构同。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hochschild 上同调 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; \bbZ); C^*(\bbC P^n; \bbZ)) $ 上的 Batalin-Vilkovisky 结构是否与自由环路空间上同调 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bbZ)) $ 上的 BV 结构构同？
• RQ2 当 $ n = kp - 1 $ 时，$ A = \bbF_p[x]/(x^{n+1}) $ 的 $ HH^*(A; A) $ 上的 BV 代数结构如何变化？$ p $-挠率在修改代数关系中起什么作用？
• RQ3 能否利用 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; \bk); C^*(\bbC P^n; \bk)) $ 上的 BV 结构来计算有理环路上同调 BV 结构 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $，且该计算是否与已知结果一致？
• RQ4 在 $ R = \bbZ $ 或 $ \bk $ 的情形下，$ t^k x^l $ 和 $ t^k u x^l $ 上的 BV 算子 $ \Delta $ 的显式公式是什么？在特征 $ p $ 情形下该公式如何变化？
• RQ5 $ HH^*(A; A) $ 上的 Gerstenhaber 李括号是否与 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ 上的字符串括号构同？即使完整的 BV 结构不构同，这种构同是否仍然成立？

主要发现

• 当 $ A = R[x]/(x^{n+1}) $，且 $ R = \bbZ $ 或特征 0 或 $ p \neq 2 $ 的域 $ \bk $ 时，Hochschild 上同调 $ HH^*(A; A) $ 同构于 BV 代数 $ R[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $，其中 $ |x| = -2m $，$ |u| = -1 $，$ |t| = 2mn + 2(m-1) $，且 $ \Delta(t^k x^l) = 0 $，$ \Delta(t^k u x^l) = (-(k+1)n - k + l) t^k x^l $。
• 当 $ n = kp - 1 $ 且 $ R = \bbF_p $ 时，BV 代数结构为 $ \bbF_p[x, v, t]/(x^{kp}, v^2) $，其中 $ |x| = -2m $，$ |v| = 2m - 1 $，$ |t| = 2mn + 2(m-1) $，且 $ \Delta(t^k x^l) = 0 $，$ \Delta(t^k v x^l) = l t^k x^{l-1} $。
• 当 $ R = \bbF_2 $ 时，若 $ n $ 为偶数，结构为 $ \bbF_2[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $，且 $ \Delta(t^k u x^l) = (-k + l) t^k x^l $；若 $ n $ 为奇数，则为 $ \bbF_2[x, v, t]/(x^{n+1}, v^2 - \frac{n+1}{2} t x^{n-1}) $，且 $ \Delta(t^k v x^l) = l t^k x^{l-1} $。
• 在 $ \bbC P^1 = S^2 $ 且 $ R = \bbZ $ 的情形下，BV 代数 $ HH^*(C^*(S^2; \bbZ); C^*(S^2; \bbZ)) $ 不构同于 $ \bH_*(LS^2; \bbZ) $，但它们诱导出的 Gerstenhaber 结构构同。
• 主要结果计算了任意域 $ \bk $ 下 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ 与 $ \bH_*(L\bbH P^n; \bk) $ 上的 BV 结构，表明它们同构于 $ \bk[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $，其中 $ |x| = -2 $，$ |u| = -1 $，$ |t| = 2n $，且 $ \Delta $ 公式相同。
• 本文通过计算 $ p $-挠率情形下的 Hochschild 上同调，证实了 Luc Menichi 的猜想：$ \bH_*(L\bbC P^{p-1}; \bbF_p) $ 与 $ HH^*(H^*(\bbC P^{p-1}; \bbF_p); H^*(\bbC P^{p-1}; \bbF_p)) $ 作为 BV 代数不构同。