[논문 리뷰] A bounded homogeneous domain and a projective manifold are not relatives

Roberto Mossa|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 04.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유계 동차 도메인에 동차 켈러 계량을 갖춘 경우와 복소 프로젝티브 공간에 Fubini–Study 계량을 갖춘 프로젝티브 켈러 다양체는, 헬로모르픽 등거리 임베딩을 통한 비자명한 공통 켈러 부분다양체를 공유할 수 없다는 것을 증명한다. 증명은 코herent 상태 사상, 재생 커널, Calabi의 강성 정리 등을 활용하여, 도메인에서 복소 프로젝티브 공간으로의 헬로모르픽 등거리 임베딩의 영상이 유한차원 임베딩을 통해 무한차원 프로젝티브 공간으로 인해 분해될 수 없다는 점을 보인다.

ABSTRACT

Let $M_1$ and $M_2$ be two Kähler manifolds. One says that $M_1$ and $M_2$ are "relatives" if they share a non-trivial Kähler submanifold $S$, namely, if there exist two holomorphic and isometric immersions (Kähler immersions) $h_1: S -> M_1$ and $h_2: S -> M_2$. In this paper we show that a bounded homogeneous domain with a homogeneous Kähler metric and a projective Kähler manifold (i.e. a projective manifold endowed with the restriction of the Fubini-Study metric) are not relatives. Our result is a generalization of the result obtained by A. J. Di Scala and A. Loi (in "Kähler manifolds and their relatives", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 9 3 (2010), 495-501) for the Bergman metrics.

연구 동기 및 목표

• 유계 동차 도메인에 동차 켈러 계량을 갖춘 경우와 프로젝티브 켈러 다양체가 헬로모르픽 등거리 임베딩을 통해 비자명한 켈러 부분다양체를 공유할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 이전의 베르그만 계량을 갖춘 유계 도메인과 프로젝티브 다양체 사이의 비친척성 결과를 더 넓은 범주인 동차 켈러 계량을 갖춘 유계 동차 도메인으로 일반화하는 것.
• 재생 커널과 코herent 상태의 기하학적·해석적 성질을 이용하여 이러한 공간들 사이의 켈러 임베딩에 대한 국소적 장벽을 설정하는 것.
• 복소 프로젝티브 공간 ℂP∞로의 코herent 상태 사상에 의해 올리기된 경우, 유계 동차 도메인에서 ℂPm로의 켈러 임베딩의 영상이 유한차원 부분공간에 포함될 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 유계 동차 도메인 Ω의 강한 준볼록성과 Hormander의 L2-추정을 활용하여 전역적으로 정의된 켈러 포텐셜 Φ를 구성한다.
• 중량 함수 e−λΦ를 갖는 힐버트 공간 HλΦ를 정의하고, λ > 0가 충분히 클 경우 비자명하다는 것을 보인다.
• ε-함수 ελg(z) = e−λΦ(z)KλΦ(z,z)를 도입하며, 등급군 G의 전이적 작용으로 인해 Ω 전역에서 일정하다.
• diastasis 함수 D(z) = log ψ(z,z)를 정의하며, 이는 계량 g에 대한 전역 켈러 포텐셜이 되고 군 작용에 관하여 불변이다.
• Hλ𝒟의 정규직교 기저를 이용하여 Ω → ℂP∞로의 코herent 상태 사상 φ를 구성하며, φ∗gFS = λg임을 보여, λg가 프로젝티브로 유도됨을 의미한다.
• Calabi의 강성 정리를 적용하여, 1차원 켈러 부분다양체 S가 Ω와 ℂPm 둘 다에 등거리로 임베딩될 경우 모순이 발생함을 도출한다. 이는 φ의 영상이 유한차원 부분공간에 있을 것이지만, 코herent 상태 사상은 무한차원을 요구하기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 동차 도메인에 동차 켈러 계량을 갖춘 경우와 프로젝티브 켈러 다양체는 헬로모르픽 등거리 임베딩을 통해 비자명한 공통 켈러 부분다양체를 공유할 수 있는가?
• RQ2 유계 동차 도메인에서 재생 커널이 0이 아니고 ε-함수가 일정하다는 사실이 복소 프로젝티브 공간으로의 켈러 임베딩을 방지하는가?
• RQ3 완전성이나 컴actness를 가정하지 않더라도, 유계 동차 도메인에서 유한차원 복소 프로젝티브 공간으로의 켈러 임베딩에 국소적 장벽이 존재하는가?
• RQ4 유한차원 ℂPm로의 켈러 임베딩의 영상이 ℂP∞로의 코herent 상태 사상에 의해 상향 올리기될 경우, 오р토고널 다항식 {Pk(z1)}을 통한 코herent 상태 구성이 모순을 감지할 수 있는가?
• RQ5 Calabi의 강성 정리에 따르면, 도메인이 유계이고 동차일 경우, 켈러 임베딩의 영상이 코herent 상태 사상에 의해 ℂP∞로 분해될 수 없다는가?

주요 결과

• 등급군의 전이적 작용으로 인해, 큰 λ > 0에 대해 유계 동차 도메인 Ω 전역에서 ε-함수 ελg(z,w) = e−λΦ(z,w)KλΦ(z,w)는 일정하다.
• diastasis 함수 D(z) = log ψ(z,z)는 계량 g에 대한 전역 켈러 포텐셜이며, 관련된 재생 커널 Kλ𝒟(z,w)는 코herent 상태 사상 φ: Ω → ℂP∞가 잘 정의되어 있고 φ∗gFS = λg를 만족함을 보장한다.
• 힐베르트 공간 Hλ𝒟는 모든 다항식과 상수 함수를 포함하며, z1에 대한 다항식의 정규직교 기저를 갖는다. 이에 따라 복소선 위에서의 정규직교 다항식 {Pk(z1)}의 수열이 존재한다.
• 코herent 상태 사상 φ: Ω → ℂP∞는 헬로모르픽이자 등거리이며, 그 영상은 ℂP∞의 무한차원 부분공간에 포함된다.
• 1차원 켈러 부분다양체 S가 Ω와 ℂPm 둘 다에 등거리로 임베딩된다면, φ∘f(S)의 영상은 ℂP∞의 유한차원 부분공간에 포함되며, 이는 Calabi의 강성 정리와 모순된다.
• 따라서 그러한 공통 켈러 부분다양체 S는 존재할 수 없으며, 이는 유계 동차 도메인과 프로젝티브 켈러 다양체가 서로 친척 관계가 아니라는 것을 증명한다.