[논문 리뷰] A Bourgain-Brezis-Mironescu characterization of higher order Besov-Nikol'skii spaces

Julien Brasseur|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 17.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보르게인-브레지스-미로네스크의 프레임워크를 고차수 분수 공간으로 확장하여, $M$-차 수의 차분을 포함하는 적분 함수류를 통해 베소프-니콜스키 공간 $B_{p,∞}^{s}(ℝ^N)$의 비국소적 특성화를 제공한다. $W^{1,p}$, $BV$, $C^{0,1}$에 대한 등가 노름을 확립하고, 새로운 비컴 pactness 결과를 증명하며, 리프시츠 공간과 베소프 공간 사이의 한계 및 비한계 임베딩을 유도한다.

ABSTRACT

We study a class of nonlocal functionals in the spirit of the recent characterization of the Sobolev spaces $W^{1,p}$ derived by Bourgain, Brezis and Mironescu. We show that it provides a common roof to the description of the $BV(\mathbb{R}^N)$, $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$, $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ and $C^{0,1}(\mathbb{R}^N)$ scales and we obtain new equivalent characterizations for these spaces. We also establish a non-compactness result for sequences and new (non-)limiting embeddings between Lipschitz and Besov spaces which extend the previous known results.

연구 동기 및 목표

• 보르게인, 브레지스, 미로네스크가 제시한 $W^{1,p}$ 공간의 비국소적 특성화를 고차수 분수 및 베소프-니콜스키 공간으로 확장하는 것.
• 공통의 비국소 함수류 프레임워크 아래 $W^{1,p}$, $BV$, $B_{p,∞}^{s}$, $C^{0,1}$ 공간의 묘사를 통합하는 것.
• $M$-차 수의 차분과 모이스처 기반 함수류를 사용하여, 베소프-니콜스키 공간의 새로운 등가 특성화를 확립하는 것.
• 이들 공간의 수열에 대한 새로운 비컴 pactness 결과를 도출하고, 리프시츠 공간과 베소프 공간 사이의 기존의 한계 및 비한계 임베딩을 확장하는 것.

제안 방법

• 논문은 $M$-차 수의 전진 차분 $\Delta_h^M f(x)$와 반경 방향 모이스처 수열 $\rho_\varepsilon$를 포함하는 비국소 함수류를 도입하고, 오목 함수 $\omega$와의 적분을 통해 구성한다.
• 리틀우드-파일즈 분해를 사용하여 비국소 함수류를 이방형 주파수 국소화를 통해 동질적 베소프 반노름 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s}$와 연결한다.
• 모이스처 척도 $\varepsilon \sim 2^{-j}$를 이산화하고, 라미와 미로네스크의 $\|f - f * \rho_{2^{-j}}\|_{L^p}$에 대한 기존 추정치를 활용하여 $2^{js}\|f_j\|_{L^p}$를 제어한다.
• 제닝스 부등식을 적용하여 $|h|^{-sp}$ 가중치를 갖는 비국소 함수류를 통해 $\rho_\varepsilon * f - f$의 $L^p$-노름을 바OUNDS한다.
• 원래의 모이스처 $\rho$를 그 컴acts지지 타입의 절단 함수 $\tilde{\rho}$와 비교하여, 컴팩트 지지핵이 아닌 경우에도 결과를 확장한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 한계 및 비한계 임베딩을 도출하며, $W^{r,p}$ 노름의 임계 경우 $r \downarrow 0$도 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보르게인-브레지스-미로네스크가 제시한 $W^{1,p}$의 특성화를 $M$-차 수의 차분을 사용하여 고차수 소볼레프 및 베소프-니콜스키 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 비국소 함수류가 베소프-니콜스키 공간 $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$의 등가 노름을 제공하는가?
• RQ3 비국소 프레임워크에서 $r \to 0$ 또는 $r \to 1$일 때 $W^{r,p}$와 $L^p$ 사이의 한계 임베딩은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 $B_{p,\infty}^s$에 대한 비국소 함수류에서 유계 수열에서 나타나는 비컴 pactness 현상은 무엇인가?
• RQ5 비국소 함수류를 사용하여 리프시츠 공간과 베소프 공간 사이의 새로운 임베딩을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 함수류 $\int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} \rho_\varepsilon(h) \frac{|\Delta_h^M f(x)|^p}{|h|^{sp}} \, dx \, dh$ 는 $s \in (0,M]$ 이고 $\rho_\varepsilon$ 가 반경 방향 모이스처일 때, $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ 노름과 등가임을 보였다.
• 새로운 한계 임베딩을 확립: $\lim_{r \uparrow 1} (1-r)p \|f\|_{W^{r,p}}^p = K_{p,N} \|\nabla f\|_{L^p}^p$, 고전적 결과를 고차수 설정으로 확장하였다.
• 비컴 pactness 결과를 증명: 비국소 함수류에서 유계인 수열은 $B_{p,\infty}^s$ 에서 약수렴하는 부분수열을 갖지 않을 수 있다.
• $\omega(t) = t \log(1+t)$ 를 사용한 비국소 함수류를 통해 $C^{0,1}(\mathbb{R}^N)$ 공간이 특성화되었으며, 이는 $BV$ 및 $W^{1,p}$ 결과를 확장한다.
• $\operatorname{Lip}(\mathbb{R}^N)$ 과 $B_{p,\infty}^s(\mathbb{R}^N)$ 사이의 비한계 임베딩이 확립되었으며, $s < 1$ 일 때 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s} \lesssim \|f\|_{\operatorname{Lip}}$ 를 보였다. 지수의 최적성 또한 입증되었다.
• 라미와 미로네스크의 결과 $\|f\|_{B_{p,\infty}^s} \lesssim \|f\|_{L^p} + \sup_{\varepsilon \in (0,1)} \frac{\|\rho_\varepsilon * f - f\|_{L^p}}{\varepsilon^s}$ 는 엄밀하게 정당화되었고, 비국소 프레임워크에 적용되었다.