[논문 리뷰] A C-system defined by a universe category

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유니버스 범주—즉, 범주 $\mathcal{C}$, 사상 $p: \widetilde{U} \to U$, $p$ 위의 선택된 피복, 그리고 최종 대상으로 정의된 유니버스 범주에서 C-계열 $CC(\mathcal{C}, p)$를 구성한다. 유니버스 범주 함자들을 정의하고, 이러한 함자들이 C-계열의 준동형사상을 유도함을 보이며, 등가 관계는 C-계열의 동형사상을 유도한다. 주요 기여는 등가 관계를 유지하는 범주 수준의 자료로부터 C-계열을 정규적으로 구성하는 것으로, 임의의 주어진 C-계열에서부터 세 가지 명시적인 유니버스 범주 및 동형사상 구성법을 제공한다.

ABSTRACT

This is a major update of the previous version. The methods of the paper are now fully constructive and the style is "formalization ready" with the emphasis on the possibility of formalization both in type theory and in constructive set theory without the axiom of choice. This is the third paper in a series started in 1406.7413. In it we construct a C-system $CC({\cal C},p)$ starting from a category $\cal C$ together with a morphism $p:\widetilde{U} ightarrow U$, a choice of pull-back squares based on $p$ for all morphisms to $U$ and a choice of a final object of $\cal C$. Such a quadruple is called a universe category. We then define universe category functors and construct homomorphisms of C-systems $CC({\cal C},p)$ defined by universe category functors. As a corollary of this construction and its properties we show that the C-systems corresponding to different choices of pull-backs and final objects are constructively isomorphic. In the second part of the paper we provide for any C-system CC three constructions of pairs $(({\cal C},p),H)$ where $({\cal C},p)$ is a universe category and $H:CC ightarrow CC({\cal C},p)$ is an isomorphism. In the third part we define, using the constructions of the previous parts, for any category $C$ with a final object and fiber products a C-system $CC(C)$ and an equivalence $(J^*,J_*):C ightarrow CC$.

연구 동기 및 목표

• 유니버스 범주—즉, 사상 $p: \widetilde{U} \to U$, $p$ 위의 선택된 피복, 그리고 최종 대상이 있는 범주 $\mathcal{C}$—로부터 C-계열 $CC(\mathcal{C}, p)$를 정의하는 것.
• 유니버스 범주 함자들을 정의하고, 이러한 함자들이 C-계열의 준동형사상을 유도함을 보이며, 범주 간의 등가 관계가 C-계열 간의 동형사상을 유도함을 보이는 것.
• 역 문제를 해결하는 것: 주어진 C-계열 $CC$에 대해, 유니버스 범주 $({\mathcal{C}}, p)$와 동형사상 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$를 구성하는 것. 이는 세 가지 서로 다른 구성법을 제공한다.

제안 방법

• 모든 사상에 대해 $U$로 향하는 사상에 대한 피복 제곱을 선택함으로써, 사상 $p: \widetilde{U} \to U$에 대한 유니버스 구조를 정의하고, 최종 대상과 함께 유니버스 범주를 구성한다.
• C-계열 $CC(\mathcal{C}, p)$를 $U$로 향하는 사상에 沿해 반복 피복을 통해 얻는 객체들과, 일관된 맵의 가족으로서의 사상들로 정의한다.
• 유니버스 범주 간의 유니버스 범주 함자들을 정의하고, 피복과 유사한 양식의 구성법을 통해 관련된 C-계열 간의 함자들을 유도함을 보인다.
• 요다 임bedding과 포함 함자 $int$를 사용하여 $\mathcal{C}$를 $PreShv(\mathcal{C})$에 연결하고, $PreShv(\mathcal{C})$에서 적절한 사상 $p_{\mathcal{C}}$를 통해 C-계열을 구성한다.
• 역 문제에 대한 세 가지 다른 해법을 구성한다: 주어진 C-계열 $CC$에 대해, 유니버스 범주 $({\mathcal{C}}, p)$와 동형사상 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$를 구성하며, 각각 다른 구조적 이점이 있다.
• 구성된 함자 $J^*$와 $J_*$가 전사적이고, 서로의 준역함수 쌍을 이룬다는 것을 증명하고, 자연 동형사상 $J_* \circ J^* \cong \text{id}$와 $\text{id} \cong J^* \circ J_*$를 얻어 동형사상을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주 $\mathcal{C}$에 사상 $p: \widetilde{U} \to U$, $p$ 위의 선택된 피복, 그리고 최종 대상이 주어졌을 때, 어떻게 C-계열을 정규적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 유니버스 범주 함자가 어떤 조건에서 관련된 C-계열 간의 동형사상을 유도하는가?
• RQ3 임의의 주어진 C-계열 $CC$는 어떤 유니버스 범주 $({\mathcal{C}}, p)$에 대해 $CC(\mathcal{C}, p)$로 표현될 수 있는가? 만약 가능하다면, 그러한 표현은 몇 가지가 존재하는가?
• RQ4 범주 $\mathcal{C}$에서 최종 대상과 피복 구조의 선택이 결과적으로 얻어지는 C-계열 $CC(\mathcal{C}, p)$에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유니버스 범주들의 집합에 2-범주적 구조가 존재하는가? 만약 존재한다면, 이는 C-계열의 1-범주로의 함자를 유도하는가?

주요 결과

• 선택된 최종 대상과 피복 제곱의 선택에 관계없이 $CC(\mathcal{C}, p)$의 구성은 동형사상에 대해 독립적이며, 이는 표기 $CC(\mathcal{C}, p)$의 정당성을 뒷받침한다.
• 범주 간의 등가 관계를 유지하고, 사상 $p$를 동형사상에 대해 보존하는 유니버스 범주 함자들은 관련된 C-계열 간의 동형사상을 유도한다.
• 임의의 C-계열 $CC$에 대해, 서로 다른 구조적 이점이 있는 세 가지 다른 방법으로 유니버스 범주 $({\mathcal{C}}, p)$와 동형사상 $CC \to CC({\mathcal{C}}, p)$를 구성하는 것이 제공된다.
• 함자 $J^*: \mathcal{C} \to CC(\mathcal{C})$와 $J_*: CC(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$는 전사적이며, 서로의 준역함수 쌍을 이룬다. 이에 따라 자연 동형사상 $J_* \circ J^* \cong \text{id}$와 $\text{id} \cong J^* \circ J_*$를 얻는다.
• $CC(\mathcal{C}, p)$의 구성은 함자적이고, 범주 간의 등가 관계를 유지하므로, 등가 관계를 동형사상으로 변환하는 것으로 알려진, 범주 수준의 자료로부터 C-계열을 구성하는 유일한 방법이다.
• 역 문제에는 여러 해법이 존재하며, $J^*$가 최종 대상의 선택에, $J_*$가 피복 선택에 의존한다는 것이 명시적으로 드러나 있으나, 결과적으로 얻어지는 C-계열은 동형사상이다.