[논문 리뷰] A characterization of general position sets in graphs

Bijo S. Anand, Ullas Chandran S.V.외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 위치 집합을 그래프에서 특성화하여, 정점 부분집합 S가 일반 위치 집합이 되는 것은 S의 유도된 부분그래프가 서로 다른 완전부분그래프로 이루어져 있고, 이 부분그래프들이 S에 대해 비반사적이고 거리가 일정한 분할을 이룬다는 것을 증명한다. 주요 기여는 코그래프의 일반 위치 수를 다항시간에 계산할 수 있는 알고리즘과 이분그래프의 여집합에 대한 정확한 공식을 도출한 것이다. 이는 나무, 격자, 초입방체를 포함한다.

ABSTRACT

A vertex subset $S$ of a graph $G$ is a general position set of $G$ if no vertex of $S$ lies on a geodesic between two other vertices of $S$. The cardinality of a largest general position set of $G$ is the general position number ${ m gp}(G)$ of $G$. It is proved that $S\subseteq V(G)$ is a general position set if and only if the components of $G[S]$ are complete subgraphs, the vertices of which form an in-transitive, distance-constant partition of $S$. If ${ m diam}(G) = 2$, then ${ m gp}(G)$ is the maximum of the clique number of $G$ and the maximum order of an induced complete multipartite subgraph of the complement of $G$. As a consequence, ${ m gp}(G)$ of a cograph $G$ can be determined in polynomial time. If $G$ is bipartite, then ${ m gp}(G) \leq \alpha(G)$ with equality if ${ m diam}(G) \in \{2,3\}$. A formula for the general position number of the complement of a bipartite graph is deduced and simplified for the complements of trees, of grids, and of hypercubes.

연구 동기 및 목표

• 일반 위치 집합을 구조적 그래프 성질을 사용하여 특성화하기.
• 특히 코그래프와 이분그래프의 여집합에 대해 다양한 그래프 클래스의 일반 위치 수 gp(G)를 결정하기.
• 이분그래프에서 gp(G)가 독립수 α(G)와 같아지는 조건을 설정하기.
• 나무, 격자, 초입방체와 같은 특정 이분그래프의 여집합에 대해 일반 위치 수의 정확한 공식을 도출하기.

제안 방법

• 정점 부분집합 S가 S에 속한 두 정점 사이의 지오데식 위에 다른 정점이 존재하지 않을 경우 일반 위치 집합으로 정의된다.
• 논문은 S가 일반 위치 집합이 되는 것은 G[S]의 연결성분이 모두 완전부분그래프이고, 이들이 S에 대해 비반사적이고 거리가 일정한 분할을 이룬다는 것과 동치임을 증명한다.
• 직경이 2인 그래프의 경우, 일반 위치 수 gp(G)는 클리크 수 ω(G)와 여집합 그래프 G̅에서 유도된 완전 다중부분그래프의 최대 순서 중 큰 값을 취한다.
• 코그래프의 경우, 그 구조적 분해와 위의 특성화를 활용하여 gp(G)를 계산하는 다항시간 알고리즘을 확립한다.
• 논문은 G가 이분그래프일 경우 gp(G̅)에 대한 공식을 도출하며, 이는 나무, 격자, 초입방체와 같은 특수한 경우로 단순화된다.
• 이 특성화를 활용하여 이분그래프에서 gp(G) ≤ α(G)임을 증명하고, 이때 직경이 2 또는 3일 경우 등호가 성립함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 G에서 정점 부분집합 S가 일반 위치 집합이 되는 조건은 무엇이며, 이를 만족하기 위해 어떤 구조적 성질이 필요하는가?
• RQ2 코그래프의 일반 위치 수 gp(G)는 얼마이며, 다항시간에 계산 가능한가?
• RQ3 이분그래프에서 gp(G)가 독립수 α(G)와 같아지는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이분그래프 G의 여집합에 대해 gp(G̅)의 정확한 값은 얼마이며, 나무, 격자, 초입방체의 경우 어떻게 단순화되는가?

주요 결과

• 정점 부분집합 S가 그래프 G에서 일반 위치 집합이 되는 것은 G[S]가 S에 대해 비반사적이고 거리가 일정한 분할을 이루는 완전부분그래프들로 이루어져 있다는 것과 동치이다.
• 직경이 2인 그래프의 경우 일반 위치 수 gp(G)는 클리크 수 ω(G)와 여집합 그래프 G̅에서 유도된 완전 다중부분그래프의 최대 순서 중 큰 값을 취한다.
• 코그래프 G의 일반 위치 수는 그 구조적 성질과 일반 위치 집합의 특성화 덕분에 다항시간에 계산 가능하다.
• 이분그래프의 경우 gp(G) ≤ α(G)이며, 이때 직경이 2 또는 3일 경우 등호가 성립한다.
• 이분그래프 G의 여집합에 대해 gp(G̅)에 대한 공식을 도출하였고, 이는 나무, 격자, 초입방체의 경우 크게 단순화된다.
• 나무, 격자, 초입방체의 여집합의 일반 위치 수는 도출된 공식을 사용하여 정확히 계산할 수 있다.