[论文解读] A class of curvature type equations

Pengfei Guan, Xiangwen Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用 16

一句话总结

本文证明了在球面 $\mathbb{S}^n$ 上，对于一类广义的完全非线性曲率方程，存在 $\mathcal{G}$-不变且可接受的解，该类方程推广了 Christoffel-Minkowski 问题与 Hessian 型问题。通过在不变性与非退化性假设下运用同调理论与先验估计，证明了解具有 $C^{m+2,\gamma}$ 正则性，且其界与数据一致，但由于非齐次方程缺乏常秩定理，凸性未能完全恢复。

ABSTRACT

In this paper, we study the solvability of a general class of fully nonlinear curvature equations, which can be viewed as generalizations of the equations for Christoffel-Minkowski problem in convex geometry. We will also study the Dirichlet problem of the corresponding degenerate equations as an extension of the equations studied by Krylov.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{S}^n$ 上一类广义完全非线性曲率方程的可解性，该类方程推广了 Christoffel-Minkowski 与 Hessian 问题。
• 通过分析该类方程的 Dirichlet 问题，将 Krylov 对退化方程的结果加以推广。
• 在对称性与非退化性条件下，研究可接受解的存在性，特别关注自守群不变性的作用。
• 通过识别 $\mathbb{S}^n$ 上非齐次曲率方程所缺失的常秩定理，填补凸性恢复的空白。

提出的方法

• 利用具有 $\mathcal{G}$-不变性的同调理论证明解的存在性，其中 $\mathcal{G}$ 是 $\mathbb{S}^n$ 上一个无不动点的自守群。
• 应用先验估计，包括通过障碍函数 $\Psi$ 得到的 $C^2$ 估计，以及控制 Hessian 结构的关键引理。
• 采用测试函数 $\Phi = \sum G^{ii} \lambda_i$ 来控制二阶导数，利用初等对称函数 $\sigma_k$ 的结构。
• 推导出依赖于 $\|\alpha\|_{C^{m,1}}$、$\|\alpha_\ell\|_{C^{m,1}}$ 与 $\inf \alpha_\ell$ 的统一 $C^{m+2,\gamma}$ 估计，确保正则性。
• 将框架推广至涉及对称 2-张量 $\chi(x)$ 的方程，通过引入 $\tilde{H} = \mathrm{tr}\chi + H$ 修改 $C^2$ 估计。
• 通过平移 Hessian 算子 $\tilde{\lambda} = \lambda + \tilde{c}(x)I_n$，将三维特殊拉格朗日型方程的特例化为一般形式，从而放松 $\alpha(x)$ 的符号限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义曲率方程 $\sigma_k(W_u) + \alpha(x)\sigma_{k-1}(W_u) = \sum_{\ell=0}^{k-2} \alpha_\ell(x)\sigma_\ell(W_u)$ 在 $\mathbb{S}^n$ 上存在解？
• RQ2 是否可在不假设 $\alpha(x) \geq 0$ 的条件下证明解的存在性，特别是在该方程源于特殊拉格朗日几何时？
• RQ3 群不变性在通过同调理论证明完全非线性曲率方程解的存在性中起何作用？
• RQ4 为何此类非齐次方程缺乏常秩定理？这又如何影响解的凸性？
• RQ5 如何利用初等对称函数与曲率算子的结构，推导出统一的 $C^{m+2,\gamma}$ 估计？

主要发现

• 本文证明了在给定的不变性与非退化性条件下，曲率方程存在一个 $\mathcal{G}$-不变解 $u \in C^{m+2,\gamma}(\mathbb{S}^n)$。
• 建立了统一的 $C^{m+2,\gamma}$ 估计：$\|u\|_{C^{m+2,\gamma}} \leq C$，其中常数 $C$ 仅依赖于 $\inf \alpha_\ell$、$\|\alpha_\ell\|_{C^{m,1}}$ 与 $\|\alpha\|_{C^{m,1}}$。
• 解在可接受意义下满足 $\lambda(W_u) \in \Gamma_{k-1}$，但未必属于 $\Gamma_n$，因此凸性无法保证。
• 非退化性假设 $\alpha_\ell(x) > 0$ 防止特征值趋近于 $\partial\Gamma_{k-1}$，从而确保右边有界。
• 该方法可推广至含背景张量 $\chi(x)$ 的方程，通过修改测试函数，保持 $C^2$ 估计框架。
• 对于三维特殊拉格朗日型方程，该框架允许放松 $\alpha(x)$ 的符号约束，通过变换 Hessian 算子，使得即使 $\gamma(x) \leq 0$ 也能保证可解性。