[논문 리뷰] A class of simple $C^*$-algebras arising from certain nonsofic subshifts

Kengo Matsumoto|ArXiv.org|2008. 05. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비소픽 서브시프트 $Z_N$ 에서 유일한 순수 무한 C*-대수 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 를 구성하여, 이들이 어떤 Cuntz-Krieger 또는 Cuntz 대수와도 안정적으로 동형이 아니라는 것을 증명한다. 서브시프트는 문맥 자유 언어를 갖는 코딩 시스템이며, 게이지 작용에 대한 KMS 상태가 존재하는 것은 역온도의 로그가 $Z_N$ 의 위상 엔트로피와 정확히 일치할 때에만 성립한다. 이 위상 엔트로피는 $\beta$ 에 대한 6차 다항방정식을 통해 명시적으로 계산되며, 이는 Cuntz-Krieger 및 Cuntz 대수 외의 첫 번째 알려진 예를 제공한다.

ABSTRACT

We present a class of subshifts $Z_N, N = 1,2,...$ whose associated $C^*$-algebras ${\cal O}_{Z_N}$ are simple, purely infinite and not stably isomorphic to any Cuntz-Krieger algebra nor to Cuntz algebra. The class of the subshifts is the first examples whose associated $C^*$-algebras are not stably isomorphic to any Cuntz-Krieger algebra nor to Cuntz algebra. The subshifts $Z_N$ are coded systems whose languages are context free. We compute the topological entropy for the subshifts and show that KMS-state for gauge action on the associated $C^*$-algebra ${\cal O}_{Z_N}$ exists if and only if the logarithm of the inverse temperature is the topological entropy for the subshift $Z_N$, and the corresponding KMS-state is unique.

연구 동기 및 목표

• 서브시프트 $Z_N$ 에서 Cuntz-Krieger 또는 Cuntz 대수와 안정적으로 동형이 되지 않는 새로운 단순 순수 무한 C*-대수 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 를 구성하는 것.
• 서브시프트 $Z_N$ 가 비소픽이며 문맥 자유 언어를 갖는다는 것을 보여주어 이전에 연구된 기호 체계들과 구별됨을 입증하는 것.
• 서브시프트 $Z_N$ 의 위상 엔트로피를 계산하고, $\beta$ 에 대한 유일한 6차 다항방정식을 통해 KMS 상태와 엔트로피 사이의 정확한 대응 관계를 설정하는 것.
• 서브시프트들이 플로우 동치 관계에서 서로 다른 것을 증명하기 위해 $Z_N$ 의 K-이론 및 Bowen-Franks 군을 계산하는 것.

제안 방법

• 서브시프트 $Z_N$ 는 기호 행렬 체계와 $\lambda$-그래프 체계로부터 유도된 문맥 자유 언어를 갖는 코딩 시스템으로 정의된다.
• $\mathcal{O}_{Z_N}$ 는 $\lambda$-그래프 체계에 의해 인코딩된 관계를 만족하는 부분 등위와 프로젝션으로 생성되는 유니버설 C*-대수로서 구성된다.
• 서브시프트 $Z_N$ 의 위상 엔트로피는 길이 $k$ 인 단어의 수의 증가율을 사용하여 계산되며, 이는 $\beta$ 에 대한 6차 다항방정식의 근 $\beta_N > N$ 이며, 엔트로피는 $\log \beta_N$ 으로 주어진다.
• 게이지 작용에 대한 KMS 상태는 KMS 조건과 C*-대수의 구조를 이용하여 분석되며, $\log \beta = h_{\text{top}}(Z_N)$ 일 때에만 존재하고 유일하다는 것을 보여준다.
• $K_0(\mathcal{O}_{Z_N}) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, $K_1(\mathcal{O}_{Z_N}) = \{0\}$ 의 K-이론 불변량을 계산하여 플로우 동치 클래스를 구별한다.
• 유니버설 계수 정리를 적용하여 Ext-군을 계산하고, 이를 바탕으로 Bowen-Franks 군 $BF^i(Z_N)$ 을 정의하여 $Z_N$ 서브시프트들이 플로우 동치가 아님을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비소픽 서브시프트에서 유일한 순수 무한 C*-대수의 새로운 클래스를 구성할 수 있는가? 이 대수들은 어떤 Cuntz-Krieger 또는 Cuntz 대수와도 안정적으로 동형이 되지 않는가?
• RQ2 게이지 작용에 대한 KMS 상태 존재 조건이 서브시프트 $Z_N$ 의 위상 엔트로피와 어떤 정확한 관계를 갖는가?
• RQ3 서브시프트 $Z_N$ 의 K-이론 및 Bowen-Franks 군은 어떻게 행동하며, 플로우 동치 관계에서의 분류에 사용될 수 있는가?
• RQ4 서브시프트 $Z_N$ 의 위상 엔트로피는 계산 가능하며, $\beta$ 에 대한 특정한 대수적 방정식을 만족하는가?
• RQ5 $N \to \infty$ 일 때, 엔트로피 $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$ 의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 서브시프트 $Z_N$ 는 비소픽이며 문맥 자유 언어를 갖는다. 이는 이전에 연구된 소픽 또는 유사 소픽 체계들과 구별된다.
• 관련된 C*-대수 $\mathcal{O}_{Z_N}$ 는 단순하고 순수 무한이며, 어떤 Cuntz-Krieger 대수나 Cuntz 대수와도 안정적으로 동형이 아니다.
• 서브시프트 $Z_N$ 의 위상 엔트로피는 $h_{\text{top}}(Z_N) = \log \beta_N$ 이며, 여기서 $\beta_N > N$ 은 다항방정식 $\beta^6 - (N+3)\beta^5 + (3N+1)\beta^4 - 2(N-1)\beta^3 - (N+2)\beta^2 + N - 1 = 0$ 의 유일한 실근이다.
• 게이지 작용에 대한 KMS 상태가 존재하는 것은 역온도 $\beta$ 가 $\log \beta = h_{\text{top}}(Z_N)$ 를 만족할 때에만 성립하며, 이러한 상태는 유일하다.
• $K_0(\mathcal{O}_{Z_N}) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, $K_1(\mathcal{O}_{Z_N}) = \{0\}$ 이며, Bowen-Franks 군은 $BF^0(Z_N) = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$, $BF^1(Z_N) = \mathbb{Z}$ 로 주어져서 서브시프트 $Z_N$ 가 상호 간에 플로우 동치가 아님을 증명한다.
• $N \to \infty$ 일 때, 비율 $\beta_N / N \to 1$ 이므로 점근적으로 $h_{\text{top}}(Z_N) \sim \log N$ 이다.