[논문 리뷰] A Classification of Deterministic Hunt Processes with Some Applications

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 12.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℝ 위의 결정론적 헌트 과정을 생성 경로를 통해 특성화하여 분류한다. 모든 그러한 과정이 가산 개의 엄격히 증가하는 전단사 함수의 가족으로부터 유도됨을 증명한다. 주요 기여는 Cinlar 등(1980)의 의미에서 이토 과정이 아닌 헌트 세미마팅게일을 구성한 것으로, 이토 과정 클래스가 헌트 세미마팅게일 내에서 엄격히 더 작은지에 대한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Deterministic processes form an important building block of several classes of processes. We provide a method to classify deterministic Hunt processes. Within this framework we characterize different subclasses (e.g. Feller) and construct some (counter-)examples. In particular the existence of a Hunt semimartingale (on R) which is not an Itô process in the sense of Cinlar, Jacod, Protter and Sharpe (1980) is proven.

연구 동기 및 목표

• 생성 경로를 사용하여 실수선 위의 결정론적 헌트 과정에 대한 분류 프레임워크를 제공하기 위해.
• 결정론적 헌트 프레임워크 내에서 펠러 과정과 리치 펠러 과정과 같은 하위클래스를 특성화하기 위해.
• 모든 헌트 세미마팅게일이 이토 과정이 아니라는 반례를 구성하기 위해.
• 결정론적 동역학의 맥락에서 헌트 과정, 세미마팅게일, 이토 과정 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 경로의 정규성과 변동성의 역할이 결정론적 과정의 세미마팅게일 성질을 어떻게 결정하는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 모든 ℝ → ℝ로의 전단사 및 엄격히 증가하는 생성 함수 Φ를 통해 결정론적 헌트 과정을 정의하며, Xₜˣ = Φ(t + Φ⁻¹(x))로 표현한다.
• ℝ 위의 모든 결정론적 헌트 과정이 서로소인 구간들의 가산 합집합으로 분해되며, 각 구간이 별개의 생성 경로에 의해 지배됨을 증명한다.
• 기호와 세미마팅게일 특성(특히 비드 성분)을 사용하여 과정의 구조를 분석한다.
• 랜덤 시간 변화 이론을 적용하여 모든 헌트 과정이 기저 과정이 결정론적 레비 과정인 시간변화된 이토 과정으로 나타남을 보인다.
• 정밀 연속 기호와 생성자 정의역을 활용하여 리치성 및 펠러 성질을 검증한다.
• 조각별 선형 함수 및 특이 함수(예: 칸토어 함수)를 사용하여 세미마팅게일 및 이토 과정 조건을 테스트하는 구체적 예를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝ 위의 결정론적 헌트 과정은 생성 경로의 가족을 통해 완전히 분류될 수 있는가?
• RQ2 Cinlar, Jacod, Protter, Sharpe(1980)의 의미에서 ℝ 위의 모든 헌트 세미마팅게일은 반드시 이토 과정인가?
• RQ3 어떤 조건이 결정론적 헌트 과정이 펠러 또는 리치임을 보장하는가?
• RQ4 결정론적 헌트 과정이 세미마팅게일이 아니게 될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 경로 정규성 조건에서 그러한 일이 발생하는가?
• RQ5 결정론적 과정에서 세미마팅게일 특성과 기호는 기본 생성 함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 모든 ℝ 위의 결정론적 헌트 과정은 서로소인 구간 각각에서 정의되는 가산 개의 전단사 및 엄격히 증가하는 함수의 가족에 의해 생성된다.
• 칸토어 함수를 생성 경로로 사용하여 구성된 칸토어 과정은 펠러 과정이지만 리치가 아니며, 따라서 이토 과정이 아니다.
• 헌트 세미마팅게일이 반드시 이토 과정이 아니며, 본 논문은 그러한 과정을 명시적으로 구성하여 이토 과정 클래스가 헌트 세미마팅게일 내에서 엄격히 더 작은 포함관계를 갖는다는 것을 증명한다.
• 콤팩트에서 무한 변동성을 갖는 생성 경로(예: f(t)가 컴팩트에서 무한 변동성)를 가진 과정은 세미마팅게일이 아니며, 이는 헌트 과정이더라도 마찬가지다.
• 결정론적 과정의 기호는 p(x,ξ) = -ib(x)ξ로 주어지며, 여기서 b(x)는 경로의 국소 속도이다. 이 기호는 정밀 연속이지만 반드시 연속적이지는 않다.
• 불연속적인 비드 계수(예: sign(x))를 가진 결정론적 과정도 비드가 정밀 연속이면 이토 과정이 될 수 있다. 이는 x에 대해 연속적이지 않아도 된다.