[논문 리뷰] A closed model structure for $n$-categories, internal $Hom$, $n$-stacks and generalized Seifert-Van Kampen

Carlos Simpson|ArXiv.org|1997. 04. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 $n$-precat—$\Delta^n$의 몫 위의 프레시피어로, 일정 조건을 만족하는 것—위에 닫힌 모델 구조를 수립하여 $n$-nerve에 대한 내부 $\underline{Hom}$의 정의를 가능하게 한다. 이를 통해 $n$-categories의 $(n+1)$-nerve를 구성하고, Poincaré $n$-groupoid에 대한 일반화된 Seifert–van Kampen 정리를 증명하며, 비아벨리안 코hom로지와 카테고리적 푸시아웃 간의 연결을 제시한다.

ABSTRACT

We define a closed model category containing the $n$-nerves defined by Tamsamani, and admitting internal $Hom$. This allows us to construct the $n+1$-category $nCAT$ by taking the internal $Hom$ for fibrant objects. We prove a generalized Seifert-Van Kampen theorem for Tamsamani's Poincaré $n$-groupoid of a topological space. We give a still-speculative discussion of $n$-stacks, and similarly of comparison with other possible definitions of $n$-category.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n$-nerve의 $(n+1)$-nerve인 $nCAT$의 구성이 가능하도록, $n$-nerve $A$와 $B$에 대해 내부 $\underline{Hom}(A,B)$를 정의하고, 그 결과로 $n$-nerve가 되도록 하는 것.
• 엄격한 사상이 높은 코homology 계열(예: $H^n(G,V)$)을 포괄하지 못하는 부족함을 보완하기 위해, 닫힌 모델 범주를 통한 호모토피적 프레임워크를 도입하는 것.
• 열린 덮개에 대해 $X = U \cup V$일 때, $\Pi_n(X)$가 $\Pi_n(U)$, $\Pi_n(V)$, $\Pi_n(U\cap V)$의 카테고리적 푸시아웃과 동치임을 보여, 고전적 Seifert–van Kampen 정리를 $n$-categories로 일반화하는 것.
• fibrant $n$-precat $A$에 대해 비아벨리안 코hom로지 $H(X,A) := \mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$를 정의하고, 일반화된 Seifert–van Kampen 정리를 통해 Mayer–Vietoris 성질을 만족함을 보이는 것.

제안 방법

• $n$-precat를 $\Theta^n$—$\Delta^n$의 몫—위의 프레시피어로 정의하고, 일정 조건을 만족시키며, 극한과 내부 $\underline{Hom}$에 대해 닫혀 있는 범주 $PC_n$를 형성한다.
• 약한 동치를 $Cat(-)$의 네르브 함수를 통해 정의하며, $Cat(A) \to Cat(B)$가 Tamsamani의 의미에서 $n$-nerve의 외부 동치여야 한다고 요구한다.
• $PC_n$ 위에 모델 구조를 수립하며, 코프라비언스는 단사사상(최고 차수의 단사성 제외)으로, 프라비언트 대상은 올림성질을 통해 정의한다.
• Jardine–Joyal의 방법을 단순형 프레시피어에 적용하여, 극복 가능한 코프라비언스를 沿해 푸시아웃이 다시 극복 가능한 코프라비언스임을 증명함으로써 모델 구조를 확보한다.
• $\Upsilon_n$를 귀납적으로 정의한다: $\Upsilon_0(X)$는 점에서 $X$로의 사상의 호모토피류이며, $\Upsilon_n(X)_{m/} := \Upsilon_{n-1}(U_m)$, 여기서 $U_m$은 피보링된 단순형 대상이다.
• $X = \Pi_n(U) \cup_{\Pi_n(U\cap V)} \Pi_n(V)$에 적용하여 일반화된 Seifert–van Kampen 정리를 카테고리적 푸시아웃으로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 $\underline{Hom}$이 $n$-nerve에 대해 정의되어 그 값이 $n$-nerve가 되도록 할 수 있는가? 이를 통해 모든 $n$-nerve의 $(n+1)$-nerve인 $nCAT$를 구성할 수 있는가?
• RQ2 왜 엄격한 사상은 $H^n(G,V)$와 같은 높은 코homology 계열을 포괄하지 못하는가? 호모토피적 방법은 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ3 $X$의 Poincaré $n$-groupoid $\Pi_n(X)$는 열린 덮개 $X = U \cup V$에 대해 카테고리적 푸시아웃으로 분해되는가? 이는 고전적 Seifert–van Kampen 정리를 일반화하는가?
• RQ4 fibrant $A$에 대해 비아벨리안 코호모로지 $H(X,A)$를 $\mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$로 정의할 수 있으며, Mayer–Vietoris 성질을 만족하는가?

주요 결과

• $n$-precat의 범주에 대해 닫힌 모델 구조를 수립하였으며, 코프라비언스는 단사사상이며, 약한 동치는 Tamsamani의 $n$-nerve 함수 $Cat(-)$를 통해 정의된다.
• fibrant $n$-precat $A$와 $B$에 대해 내부 $\underline{Hom}(A,B)$는 잘 정의되어 있으며, 결과적으로 $n$-nerve가 되며, 이는 모든 $n$-nerve의 $(n+1)$-nerve인 $nCAT$의 구성이 가능함을 보여준다.
• 일반화된 Seifert–van Kampen 정리가 성립한다: $\Pi_n(X)$는 $\Pi_n(U)$, $\Pi_n(V)$, $\Pi_n(U\cap V)$의 교차를 통해 이루어지는 카테고리적 푸시아웃과 동치이다.
• 비아벨리안 코호모로지 $H(X,A) := \mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$는 $\Pi_n(X)$의 푸시아웃 구조 덕분에 Mayer–Vietoris 성질을 만족한다.
• $\Upsilon_n$는 귀납적으로 정의되며, 약한 동치와 곱을 보존한다. 이는 $Top$에 대한 Tamsamani의 $\Pi_n$을 일반화한다.
• $\Upsilon_n$가 일반적인 $n$-범주 이론으로 일반화되기 위해서는 추가 조건(예: 푸시아웃 보존)이 필요하다는 점을 보여주며, 이는 일반화의 한계를 드러낸다.