[논문 리뷰] A Compact Fermion to Qubit Mapping Part 2: Alternative Lattice Geometries

Charles Derby, Joel Klassen|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 26.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 20인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 정규 평면 타일링(최대 차수 4)과 3D 입방 격자를 포함한 다양한 격자 기하구조로(compact fermion-to-qubit mapping)를 확장한다. 군 이론적 프레임워크를 도입하여 인코딩을 분석함으로써, 양자 비트당 모드 비율이 1.67 이하(3D에서는 2.5 이하)이고, 엣지 연산자의 파울리 무게가 ≤3(≤4 in 3D)인 결과를 도출하며, 국소성과 자원 효율성 면에서 이전 방법인 Verstraete-Cirac을 능가한다.

ABSTRACT

In recent work [arXiv:2003.06939v2] a novel fermion to qubit mapping -- called the compact encoding -- was introduced which outperforms all previous local mappings in both the qubit to mode ratio, and the locality of mapped operators. There the encoding was demonstrated for square and hexagonal lattices. Here we present an extension of that work by illustrating how to apply the compact encoding to other regular lattices. We give constructions for variants of the compact encoding on all regular tilings with maximum degree 4. These constructions yield edge operators with Pauli weight at most 3 and use fewer than 1.67 qubits per fermionic mode. Additionally we demonstrate how the compact encoding may be applied to a cubic lattice, yielding edge operators with Pauli weight no greater than 4 and using approximately 2.5 qubits per mode. In order to properly analyse the compact encoding on these lattices a more general group theoretic framework is required, which we elaborate upon in this work. We expect this framework to find use in the design of fermion to qubit mappings more generally.

연구 동기 및 목표

• 정사각형 및 육각 격자 외의 다른 정규 격자 기하구조로 컴팩트 페르미온-큐비트 매핑을 일반화하기.
• 평면 격자에서 엣지 연산자의 최소 파울리 무게(≤3)와 최소 큐비트-모드 비율(<1.67)을 달성하기.
• 3D 입방 격자로 매핑을 확장하여 파울리 무게 ≤4 및 큐비트-모드 비율 <2.5를 달성하기.
• 국소적 페르미온 인코딩과 그 코드 공간 구조를 분석하기 위한 일반적인 군 이론적 프레임워크 개발하기.
• 코드 공간-페르미온 공간의 불일치로 인해 나타나는 임의의 마요라나 입자 종류의 기원을 규명하고 해결하기.

제안 방법

• 최대 정점 차수 4인 모든 균일한 평면 타일링에 컴팩트 인코딩 프레임워크를 적용하며, 엣지 방향성과 보조 큐비트 할당을 통해 파울리 무게를 최소화한다.
• 스테이블라이저 코드와 짝수 페르미온 대수를 기반으로 한 군 이론적 형식을 도입하여 매핑의 구조와 코드 공간을 특성화한다.
• 저중량 연산자와 다루기 쉬운 코드 공간 불일치를 보장하기 위해 특정 위상수학적 제약 조건을 갖는 평면 그래프 위의 컴팩트 인코딩의 제한된 가족을 정의한다.
• 스테이블라이저 생성자를 사용하여 페르미온 모드를 큐비트로 인코딩하며, 논리 연산자는 마요라나 페르미온과 보조 큐비트에서 유도한다.
• 코드 공간을 분석하기 위해 코드 공간 크기와 페르미온 힐베르트 공간 간의 불일치 ∆를 계산하며, 과잉 마요라나 입자 종류를 식별한다.
• ∆ > 0일 경우 추가 스테이블라이저를 도입하여 임의의 마요라나 입자를 제거함으로써 페르미온 통계와 국소성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 페르미온-큐비트 매핑은 정사각형 및 육각 기하구조를 초월한 정규 격자로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기타 격자 기하구조에서 매핑된 엣지 연산자의 최대 파울리 무게는 얼마이며, 시스템 크기와 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 이 새로운 인코딩에서 큐비트-모드 비율은 얼마이며, Verstraete-Cirac과 같은 이전 방법과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ4 코드 공간 불일치(∆)는 인코딩된 시스템의 논리적 구조에 어떻게 영향을 미치며, 임의의 마요라나 입자 종류의 기원은 무엇인가?
• RQ5 이러한 페르미온 인코딩을 체계적으로 분석하고 최적화하기 위한 일반적인 군 이론적 프레임워크를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 최대 차수 4인 정규 평면 타일링에서 컴팩트 인코딩은 엣지 연산자의 파울리 무게 ≤3을 달성하며, 큐비트-모드 비율은 <1.25에서 <1.67의 범위를 가진다.
• 3D 입방 격자에서는 엣지 연산자의 파울리 무게 ≤4이며 큐비트-모드 비율 약 2.5를 도출하며, Verstraete-Cirac(비율 3, 무게 4)를 능가한다.
• 코드 공간이 페르미온 공간보다 클 경우(∆ > 0), 상호 반대칭 작용을 갖는 최대 8개의 마요라나 입자가 나타나며, 이는 보조 큐비트에 대한 논리 연산에 해당한다.
• 임의의 마요라나 입자 종류의 기원은 추가 스테이블라이저를 도입함으로써 제거될 수 있으며, 이로써 논리 연산자와 페르미온 모드 사이의 일대일 대응 관계가 복원된다.
• 군 이론적 프레임워크는 코드 공간 구조와 연산자 국소성의 체계적 분석을 가능하게 하며, 향후 인코딩 설계의 기초를 제공한다.
• 이 인코딩 구조는 3D 토릭 코드와 유사하지만, 보다 흐린 보조 큐비트 배치와 무게 4 및 8인 스테이블라이저를 갖추고 있어 새로운 기반 코드 구조를 시사한다.