[논문 리뷰] A comparison of encodings for cardinality constraints in a SAT solver

Ed Wynn, Reeves, Joseph E.외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 27.

Constraint Satisfaction and Optimization참고 문헌 13인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 SAT 솔버에서 사용하기 위한 세 가지 순서 기반 카디널리티 제약 조건 인코딩—Sinz의 순차 카운터, Bailleux-Boufkhad의 트리 기반, Abíão 등이 제안한 정렬 기반—을 평가한다. 문장 수와 구조상의 상당한 차이가 있음에도 불구하고, 조합 문제 케이스에서 순차 카운터 인코딩이 런타임 면에서 다른 인코딩보다 뛰어나게 성능을 발휘한다. 놀랍게도, 보조 변수의 중복 해를 제거하기 위해 인코딩을 강화해도 성능에 미치는 영향이 미미했으며, 이는 더 큰 인코딩이 본질적으로 더 느리다는 가정을 도전한다.

ABSTRACT

Cardinality constraints are important in many Sat problems; previous studies provide contradictory conclusions about the best encoding to use. Here, three encodings are compared: Sinz's sequential-counter, Bailleux and Boufkhad's tree-based, and Ab\'ıo and coworkers' sort-based approaches. The sequential-counter approach is found to be the fastest of these for a range of related, combinatorial test cases. All encodings permit multiple solutions in the auxiliary variables for a single solution to the main variables; the numbers of multiple solutions can be very large, and might impede a Sat solver. Variants of the encodings are developed, where extra clauses reduce the numbers of multiple solutions. These variants are found to have remarkably little effect on solution time, even when the number of clauses is approximately doubled. The results accentuate the well-known observation that clause count and other measures of encoding size are not reliable indicators of the difficulty of a Sat problem.

연구 동기 및 목표

• SAT 솔버에서 카디널리티 제약 조건에 가장 적합한 인코딩에 대한 이전 연구 결과의 모순을 해결하기 위해.
• 제어된 실험 조건에서 순차 카운터, 트리 기반, 정렬 기반의 세 가지 주요 인코딩 접근법을 평가하기 위해.
• 보조 변수의 중복 해를 줄이기 위해 인코딩을 강화하는 것이 SAT 솔버 성능 향상에 기여하는지 조사하기 위해.
• 문장 수가 SAT 문제 난이도를 예측하는 데 신뢰할 수 있는 지표라는 가정을 도전하기 위해.

제안 방법

• 연구는 세 가지 카디널리티 제약 조건 인코딩—Sinz의 순차 카운터, Bailleux와 Boufkhad의 트리 기반, Abíão 등이 제안한 정렬 기반 인코딩—을 구현하고 벤치마킹한다.
• 각 인코딩에 대해, 주 변수 할당에 따른 보조 변수 해의 수를 줄이기 위해 여러 가지 강화된 변형을 생성한다.
• 강화 기법으로는 일방향 및 이방향 문장, 등식 제약 조건으로의 변환 등이 포함된다.
• 인코딩은 격자 기반 제약 조건(정사각형과 삼각형 포함)을 포함하는 조합 문제에 대해 테스트되며, 주 변수는 격자 점에서 유도된다.
• 솔버 성능은 런타임의 대체 지표로 메모리 접근 횟수와 문장 수를 측정하며, 문제 크기별로 결과를 시각화한다.
• 변수 순서를 다양하게 설정(행 우선, 나선형, 무작위)하여 입력 구조에 대한 민감도를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조합 문제에서 세 가지 카디널리티 제약 조건 인코딩—순차 카운터, 트리 기반, 정렬 기반—중에서 어느 것이 가장 빠른 SAT 해결 성능을 보이는가?
• RQ2 보조 변수의 중복 해를 제거하기 위해 인코딩을 강화하는 것이 SAT 해결 성능 향상에 눈에 띄는 영향을 미치는가?
• RQ3 문장 수와 인코딩 크기가 일반적으로 히وري스틱으로 사용되는 바탕으로, SAT 해결 난이도와 얼마나 관련이 있는가?
• RQ4 카디널리티 제약 조건 내 주 변수의 순서가 성능 결과에 얼마나 민감한가?

주요 결과

• 모든 정사각형과 삼각형을 포함한 테스트 케이스에서 순차 카운터 인코딩이 가장 빠른 성능을 보였으며, 트리 기반 및 정렬 기반 인코딩보다 뛰어났다.
• 보조 변수 해를 줄이기 위해 순차 카운터 인코딩을 강화했지만, 런타임에 거의 영향을 주지 않았으며, 이는 문장 수가 두 배로 증가한 경우에도 마찬가지였다.
• 트리 기반 인코딩은 변형 간 일관된 성능을 보였지만, 순차 카운터 인코딩보다 느렸다.
• 정렬 기반 인코딩은 세 가지 중에서 가장 느렸으며, 강화 기법으로도 성능 향상이 없었다.
• 주 변수 순서를 변경했을 때도 성능에 유의미한 차이가 없었으며(행 우선, 나선형, 무작위), 입력 구조에 대해 강건함을 보였다.
• 결과적으로, 문장 수와 인코딩 크기는 SAT 해결 난이도를 예측하는 데 빈약한 지표임을 입증하였으며, 더 많은 문장을 가진 강화된 인코딩이 원래 형태와 유사한 성능을 보였다.