[논문 리뷰] A comparison of techniques for dynamic multivariate risk measures

Zachary Feinstein, Birgit Rudloff|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 09.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거래비용과 다변량 손해배상이 존재하는 환경에서 집합 최적화, 가측 선택자, 집합값을 갖는 포트폴리오, 스칼라 위험 측도의 가족이라는 네 가지 접근 방식을 동적 다변량 위험 측도에 대해 비교한다. 이러한 프레임워크가 일치하는 조건을 규명하고, 원본 및 쌍대 표현을 증명하며, 시간 일관성의 성질을 분석하여 이전 연구를 동적이고 다변량적이며 마찰을 고려한 설정에서 통합한다.

ABSTRACT

This paper contains an overview of results for dynamic multivariate risk measures. We provide the main results of four different approaches. We will prove under which assumptions results within these approaches coincide, and how properties like primal and dual representation and time consistency in the different approaches compare to each other.

연구 동기 및 목표

• 거래비용과 다중 자산이 존재하는 시장에서 동적 다변량 위험 측도에 대한 네 가지 서로 다른 접근 방식을 통합하고 비교한다.
• 집합 최적화, 가측 선택자, 집합값을 갖는 포트폴리오, 스칼라 가족이라는 서로 다른 프레임워크에서 유도된 결과가 일치하는 조건을 규명한다.
• 모든 프레임워크에서 수단, 쌍대 표현, 수단의 선택에 따른 시간 일관성 및 기준 자산의 영향을 분석한다.
• 기존의 집합값을 갖는 위험 측도에 대한 결과를 특히 볼록 및 일관성 있는 위험 측도에 대해 동적 경우로 확장한다.
• 다중 수용 가능한 자산을 갖는 스칼라 위험 측도가 통합된 다변량 프레임워크 내에 어떻게 통합될 수 있는지 보여준다.

제안 방법

• 집합 최적화를 활용하여 위험 측도를 무작위 포트폴리오에서 포트폴리오 공간의 상부 집합으로 가는 집합값 함수로 정의하고, 집합값 함수에 대한 볼록 해석학을 활용한다.
• 가측 선택자 이론을 적용하여 무작위 집합의 가측 선택을 통해 위험 측도를 표현하고, 원본 및 쌍대 표현을 가능하게 한다.
• 집합값을 갖는 포트폴리오를 도입하여 거래비용과 시장 마찰을 모델링하고, 유동성 부족과 거래 제약 조건을 위험 측도 구축에 통합한다.
• 다중 수용 가능한 자산에 의해 인덱싱된 스칼라 위험 측도의 가족을 제안하여 기존의 단변량 및 다변량 모델을 일반화한다.
• 스칼라화 ρₜ^w(X) = ess inf_{u∈Rₜ(X)} wᵀu 의 조건부 볼록성과 하부 연속성을 활용하여, 모든 w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥ 에 대해 Rₜ(X) 를 교차로 정의한다.
• 분리 초평면 정리와 분해 성질(예: 𝓕ₜ-분해 가능성)을 사용하여 Rₜ(X) 가 스칼라화로 정의된 반평면들의 교차와 동일함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 최적화, 가측 선택자, 집합값을 갖는 포트폴리오, 스칼라 가족이라는 네 가지 접근 방식이 동적 다변량 위험 측도에서 동일한 결과를 도출하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 거래비용 존재 시 네 프레임워크 간 시간 일관성 성질은 어떻게 다를 수 있거나 일치하는가?
• RQ3 집합 최적화와 가측 선택자 접근 방식에서 원본 및 쌍대 표현 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 다중 수용 가능한 자산을 갖는 스칼라 위험 측도의 가족이 더 일반적인 집합값을 갖는 프레임워크와 동일한 위험 평가를 회복할 수 있는가?
• RQ5 기준 자산(또는 기준 자산 없음)의 선택이 동적 다변량 위험 측도의 구조와 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 위험 측도가 닫혀 있고 조건부 볼록일 경우, 집합 최적화와 가측 선택자 접근 방식은 동일한 결과를 도출하며, 적절한 조건 하에서 시간 일관성이 유지된다.
• 모든 w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥ 에 대해 스칼라화 ρₜ^w 가 하부 연속성과 조건부 볼록성을 갖는 한, 다중 수용 가능한 자산을 갖는 스칼라 위험 측도의 가족은 집합 최적화 프레임워크와 동일한 위험 평가를 회복할 수 있다.
• 집합값을 갖는 포트폴리오 접근 방식은 집합 최적화 프레임워크를 일반화하며, 이는 쌍대 표현과 시간 일관성을 갖는 더 큰 위험 측도 하위집합을 허용한다. 이는 집합 최적화 구조에 통합됨으로써 가능하다.
• 동적 위험 측도 Rₜ(X) 는 스칼라화로 완전히 특징지어진다: Rₜ(X) = ⋂_{w∈Mₜ₊⁺\Mₜ⊥} {u∈Mₜ : ρₜ^w(X) ≤ wᵀu} 거의 확실하게 성립한다.
• 모든 w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥ 에 대해 ρₜ^w 가 하부 연속성을 갖는 것은 Rₜ 가 닫혀 있음을 의미하며, ρₜ^w 의 조건부 볼록성은 Rₜ 가 조건부 볼록성과 닫혀 있음을 보장한다.
• 스칼라화를 통한 Rₜ(X) 의 쌍대 표현은 기존의 볼록 해석학에서의 쌍대 결과를 활용할 수 있게 하며, 특히 집합값 함수와 가측 선택자 맥락에서 유용하다.