[논문 리뷰] A compatible embedded-hybridized discontinuous Galerkin method for the Stokes--Darcy-transport problem

Ayçıl Çeşmeli̇oğlu, Sander Rhebergen|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 09.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 42인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유동과 수송을 동시에 고려하는 스토크스–다르시–수송 문제를 위한 호환 가능한 임bedded-하이브리드화된 불연속 갈레르킨(EDG-HDG) 방법을 제안한다. 이 방법은 질량을 보존하는 EDG-HDG 이산화를 유동에 적용하고, 수송에는 임bedded DG 방법을 사용한다. 주요 기여는 반연속 수송 문제에 대해 안정성, 잘 정의된 문제성, 최적 수렴성을 증명한 것이다. 수치 결과는 호환 가능한 방법이 비호환 방법에서 나타나는 비물리적 진동을 제거함을 보여준다.

ABSTRACT

We present a stability and error analysis of an embedded-hybridized discontinuous Galerkin (EDG-HDG) finite element method for coupled Stokes--Darcy flow and transport. The flow problem, governed by the Stokes--Darcy equations, is discretized by a recently introduced exactly mass conserving EDG-HDG method while an embedded discontinuous Galerkin (EDG) method is used to discretize the transport equation. We show that the coupled flow and transport discretization is compatible and stable. Furthermore, we show existence and uniqueness of the semi-discrete transport problem and develop optimal a priori error estimates. We provide numerical examples illustrating the theoretical results. In particular, we compare the compatible EDG-HDG discretization to a discretization of the coupled Stokes--Darcy and transport problem that is not compatible. We demonstrate that where the incompatible discretization may result in spurious oscillations in the solution to the transport problem, the compatible discretization is free of oscillations. An additional numerical example with realistic parameters is also presented.

연구 동기 및 목표

• 다중물리 유동에서 스토크스–다르시–수송 문제에 대해 안정적이고 호환 가능한 수치 이산화를 개발한다.
• 비호환 유동 및 수송 이산화로 인해 발생하는 수송 해에서의 비물리적 진동 문제를 해결한다.
• 정확성과 안정성 확보를 위해 이산 수준에서 전역 보존성과 제0차 정확성을 확보한다.
• 반연속 수송 문제에 대해 존재성, 유일성 및 최적 오차 추정을 증명한다.

제안 방법

• 스토크스–다르시 유동을 임bedded-하이브리드화된 불연속 갈레르킨(EDG-HDG) 방법으로 이산화하여 정확히 질량을 보존하는 속도장을 확보한다.
• 수송 방정식에 대해 임bedded 불연속 갈레르킨(EDG) 방법을 사용하여 계산 효율성을 향상시킨다.
• 자유유동 영역과 다공성 매질 영역 간의 인터페이스에서 베버스–조지프–사프만 조건을 구현한다.
• 이산 전역 보존성과 수송 방정식에 대한 제0차 정확성을 보장하는 호환 가능한 결합 전략을 적용한다.
• 반연속 수송 계획에 대해 최적의 사전 오차 추정을 적용하여 이론적 기대와 일치하는 수렴 속도를 증명한다.
• 이론적 결과를 검증하고 비호환 이산화와 비교하기 위해 현실적인 매개변수를 사용한 수치 예제를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 EDG-HDG/EDG 이산화가 스토크스–다르시 유동과 수송 방정식 간에 이산 수준에서 호환성을 보장하는가?
• RQ2 호환 가능한 이산화가 비호환 방법에서 발생하는 수송 해의 비물리적 진동을 방지할 수 있는가?
• RQ3 제안된 호환 가능한 프레임워크 하에서 반연속 수송 문제의 최적 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 호환 가능한 방법은 현실적인 표면/지하수 흐름 및 오염물 수송 시나리오에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 호환 가능한 EDG-HDG/EDG 이산화 방법은 전역 보존성과 제0차 정확성을 보장하여 수송 해에서 비물리적 진동을 방지한다.
• 이산 수송 문제가 잘 정의되어 있음을 증명하였으며, 해의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 반연속 수송 계획에 대해 최적의 사전 오차 추정이 유도되었으며, 이는 최적 수렴 속도를 확인한다.
• 수치 실험 결과, 호환 가능한 방법은 상수 해를 기계 정밀도 수준(∥1−ch∥Ω=1.5×10−13)에서 유지하지만, 비호환 방법은 실패하여 오차가 2.4×10−4를 기록한다.
• 비균질 투수도를 가진 현실적인 시험 케이스에서 표면수에서는 오염물 농도가 농축되어 있지만, 다공성 매질에서는 확산되는 것으로 나타나 물리적 기대와 일치한다.
• 이 방법은 오염물 수송이 표면 흐름에서 지하 흐름으로 전이되는 과정을 성공적으로 포착하여 복잡하고 비균질 영역에서도 강건성과 정확성을 입증한다.