[논문 리뷰] A complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober

Xiaoquan Xu, Xiaoyong Xi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 02.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 위상공간의 공집합이 아닌 포화된 컴팩트 부분집합들의 부분순서집합을 사용하여, 스코트 위상이 비소버(non-sober)인 완전 헤이팅 대수를 구성함으로써 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다. 이는 임의의 비소버 T₀ 공간의 상공간이 이 구성에서 비소버로 남는다는 것을 증명하고, 이스벨의 비소버 완전 격자 예시를 적용함으로써, 스코트 위상이 비소버인 완전 헤이팅 대수가 존재한다는 것을 확립함으로써 주어진 점군의 질문에 답한다.

ABSTRACT

We prove that (1) for any complete lattice $L$, the set $\mathcal{D}(L)$ of all nonempty saturated compact subsets of the Scott space of $L$ is a complete Heyting algebra (with the reverse inclusion order); and (2) if the Scott space of a complete lattice $L$ is non-sober, then the Scott space of $\mathcal{D}(L)$ is non-sober. Using these results and the Isbell's example of a non-sober complete lattice, we deduce that there is a complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober, thus give a positive answer to a problem posed by Jung. We will also prove that a $T_0$ space is well-filtered iff its upper space (the set $\mathcal{D}(X)$ of all nonempty saturated compact subsets of $X$ equipped with the upper Vietoris topology) is well-filtered, which answers another open problem.

연구 동기 및 목표

• 분포형 완전 격자 중 스코트 위상이 비소버인 것이 존재하는지에 대한 점군의 열린 문제를 해결하기 위해.
• 위상공간의 공집합이 아닌 포화된 컴팩트 부분집합들의 부분순서집합이 역순서 포함 관계에 대해 완전 헤이팅 대수가 되는지 증명하기 위해.
• 만일 T₀ 공간이 비소버이면, 그 상공간의 스코트 위상 역시 비소버임을 증명하기 위해.
• 공간의 웰필터드성과 그 상공간의 웰필터드성이 동치인지를 묻는 열린 질문에 답하기 위해.

제안 방법

• T₀ 공간 X에 대해, X의 공집합이 아닌 포화된 컴팩트 부분집합들의 집합인 상공간 D(X)를 정의하고, 상바이토리스 위상을 부여한다.
• 임의의 완전 격자 L에 대해, L의 스코트 공간의 공집합이 아닌 포화된 컴팩트 부분집합들의 부분순서집합 D(ΣL)가 역순서 포함 관계에 대해 완전 헤이팅 대수가 됨을 보인다.
• 완전 격자 L의 스코트 공간이 비소버이면, D(L)의 스코트 공간 역시 비소버임을 증명한다.
• 이스벨의 비소버 완전 격자 예시를 이용하여 스코트 위상이 비소버인 완전 헤이팅 대수를 구성한다.
• 웰필터드성의 특성화를 제시한다: T₀ 공간 X가 웰필터드임과 그 상공간 D(X)가 웰필터드임은 동치이다.
• 상바이토리스 위상에서의 기약집합, 필터링된 가닥, 컴팩트성의 성질을 활용하여 웰필터드성과 상공간의 웰필터드성의 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스코트 위상이 비소버인 완전 헤이팅 대수가 존재하는가?
• RQ2 기본 공간의 비소버성을 상공간으로 옮기는 상공간 구성이 비소버성을 유지하는가?
• RQ3 T₀ 공간의 웰필터드성과 그 상공간의 웰필터드성은 동치인가?
• RQ4 스코트 공간의 공집합이 아닌 포화된 컴팩트 부분집합들의 부분순서집합이 완전 헤이팅 대수가 될 수 있는가?
• RQ5 공간의 소버성과 그 상공간의 소버성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 스코트 위상이 비소버인 완전 헤이팅 대수가 존재함을 보여주며, 점군의 열린 문제에 대한 긍정적 답변을 제시한다.
• 임의의 완전 격자 L에 대해, L의 스코트 공간의 공집합이 아닌 포화된 컴팩트 부분집합들의 부분순서집합 D(ΣL)는 역순서 포함 관계에 대해 완전 헤이팅 대수가 된다.
• 완전 격자 L의 스코트 공간이 비소버이면, D(L)의 스코트 공간 역시 비소버이다.
• T₀ 공간 X가 웰필터드임과 그 상공간 D(X)가 웰필터드임은 동치이며, 도메인 이론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.
• 이 구성은 비소버성을 유지한다: X가 비소버면 D(X) 역시 비소버이며, 이는 완전 헤이팅 대수에서 비소버 스코트 위상을 생성하는 데 사용된다.
• T₀ 공간 X의 상공간 D(X)가 웰필터드임과 X가 웰필터드임은 동치이며, 이를 통해 완전한 특성화를 확립한다.