[논문 리뷰] A Construction of Binary Linear Codes from Boolean Functions

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특정 일반적 구성 방식을 사용하여 부울 함수로부터 이진 선형 코드를 구성하는 최근의 발전에 대한 조사를 제시하며, 최대 다섯 개의 무게를 가진 코드에 초점을 맞춘다. 차이 집합과 o-다항식을 기반으로 한 새로운 구성 방법을 제안하고, 특히 GF(2^m) 위에서 특정 다항식 형태로부터 유도된 일무게 및 네무게 코드에 대한 코드 매개변수와 무게 분포에 관한 11개의 열린 추측을 제기한다.

ABSTRACT

Boolean functions have important applications in cryptography and coding theory. Two famous classes of binary codes derived from Boolean functions are the Reed-Muller codes and Kerdock codes. In the past two decades, a lot of progress on the study of applications of Boolean functions in coding theory has been made. Two generic constructions of binary linear codes with Boolean functions have been well investigated in the literature. The objective of this paper is twofold. The first is to provide a survey on recent results, and the other is to propose open problems on one of the two generic constructions of binary linear codes with Boolean functions. These open problems are expected to stimulate further research on binary linear codes from Boolean functions.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 일반적 구성 방식을 사용하여 부울 함수로부터 이진 선형 코드를 구성하는 최근의 발전을 조사하기 위해.
• 특히 차이 집합과 o-다항식과 관련된 이러한 코드의 구조와 매개변수와 관련된 열린 문제를 특정하고 제시하기 위해.
• 특정 차이 집합의 존재성과 관련된 11개의 추측을 제안하여 향후 연구를 자극하기 위해.
• 부울 함수, o-다항식, 그리고 최적 또는 거의 최적의 매개변수를 가진 선형 코드 간의 관계를 탐색하기 위해.
• 대수적 및 조합적 구성 방법을 활용하여 한정된 무게를 가진 이진 코드의 알려진 가족을 확장하기 위해, 일무게, 이무게, 삼무게, 사무게, 오무게 코드를 포함한다.

제안 방법

• 부울 함수의 지지집합을 사용하여 이진 선형 코드를 구성하며, $ D_f = \{x \in \mathrm{GF}(2^m) : f(x) = 1\} $ 로 정의하고, $ D_f $ 의 특성 벡터들의 스칼라 결합으로 코드 $ \mathcal{C}_{D_f} $ 를 형성한다.
• 덧셈 성분과 월리스 변환을 활용하여 공식 $ \hat{f}(w) = \sum_{x \in \mathrm{GF}(2^m)} (-1)^{f(x) + \mathrm{Tr}(wx)} $ 을 통해 코드의 무게 분포를 분석한다.
• $(\mathrm{GF}(2^m)^*, \times)$ 내의 차이 집합 이론을 적용하여 특정 매개변수를 가진 코드를 구성하며, 특히 매개변수 $ (2^m - 1, 2^{m-1} - 1, 2^{m-2} - 1) $ 를 가진 싱거 유형의 차이 집합에 초점을 맞춘다.
• o-다항식과 $ e $-to-$ 1 $ 다항식, 예를 들어 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ 과 같은 형태를 활용하여 제어된 무게 분포를 가진 코드를 생성한다.
• 보완 구성 $ \overline{\mathcal{C}} = \mathcal{C} \cup \{ \mathbf{c} + \mathbf{1} \} $ 를 사용하여 코드를 연장하고, 차원이 증가하고 무게 분포가 알려진 새로운 코드를 도출한다.
• Magma 를 통한 계산적 검증을 통해 충분히 큰 $ m $ 에 대해 추측을 확인하여 제안된 코드 매개변수와 무게 분포의 타당성을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 부울 함수 $ f $ 에 대해 코드 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ 가 특정한 무게 분포를 가지는가, 예를 들어 일무게 또는 사무게 코드인가?
• RQ2 $ D(f)^* $ 가 $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ 내의 차이 집합이 되는 조건은 무엇인가, 특히 싱거 매개변수를 가진가?
• RQ3 o-다항식과 특정한 다항식 형태로부터 유도된 코드 $ \mathcal{C}_{D(f)^*} $ 의 정확한 매개변수와 무게 분포는 무엇인가?
• RQ4 Conjecture 41 에서 제안한 바와 같이, $ D(f) $ 가 차이 집합 성질을 증명하지 않더라도 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ 의 무게 분포를 결정할 수 있는가?
• RQ5 다음과 같은 형태의 다항식 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ 과 유사한 형태의 구성은 어떻게 최적 또는 거의 최적의 매개변수를 가진 코드를 도출하는가?

주요 결과

• 표 11 의 무게 분포를 가진 $ [2^{m-1}, m] $ 코드에서 유도된 코드 $ \overline{\mathcal{C}} $ 는 매개변수 $ [2^{m-1}, m+1] $ 과 표 13 에 나열된 무게 분포를 가진다.
• $ m = 5 $ 인 경우, 코드 $ \overline{\mathcal{C}} $ 는 매개변수 $ [16, 6, 6] $ 을 가지며 이는 최적이다; $ m = 7 $ 인 경우 매개변수 $ [64, 8, 28] $ 을 가지며 이는 거의 최적이다.
• Conjecture 39 는 $ f(x) = x + x^2 + x^{2^m - 2^{m/2} + 1} $ 인 경우 코드 $ \mathcal{C}_{D(f)} $ 가 매개변수 $ [2^{m-1}, m, 2^{m-2} - 2^{(m-2)/2}] $ 과 표 12 의 무게 분포를 가진다고 제안한다.
• Conjecture 40 은 $ m $ 의 기수성에 따라 세 가지 다항식 가족에 대해 $ D(f)^* $ 가 $ (\mathrm{GF}(2^m)^*, \times) $ 내에서 싱거 매개변수 $ (2^m - 1, 2^{m-1} - 1, 2^{m-2} - 1) $ 를 가진 차이 집합이 되는지를 제안한다.
• Conjecture 41 은 Conjecture 40 에서 다루는 다항식에 대해 코드 $ \mathcal{C}_{D(f)^*} $ 가 매개변수 $ [2^{m-1} - 1, m-1, 2^{m-2}] $ 를 가지며 일무게 코드임을 서술한다.
• 모든 추측은 Magma 를 사용하여 충분히 큰 $ m $ 에 대해 계산적으로 검증되었으며, 일반적인 증명이 없음에도 불구하고 그 타당성을 뒷받침한다.