[논문 리뷰] A construction of $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences

Takeshi Katsura|ArXiv.org|2003. 09. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 72

한 줄 요약

이 논문은 임의의 C*-대칭에 대해 C*-대수의 통합적 구성법을 제안한다—Cuntz-Pimsner 대수, 힐버트 C*-이중대수에 의한 외적곱, 그리고 그래프 대수를 일반화하며, 왼쪽 작용이 비단사적이거나 열악한 경우에도 대응 구조의 전체 구조를 유지하는 유일한 C*-표현을 정의함으로써 C*-대수를 구성한다.

ABSTRACT

We introduce a method to define $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences. Our construction generalizes Cuntz-Pimsner algebras, crossed products by Hilbert $C^*$-modules, and graph algebras.

연구 동기 및 목표

• 기존의 C*-대수 구성법—예를 들어 Cuntz-Pimsner 대수와 외적곱—을 임의의 C*-대칭에 적용 가능한 단일 프레임워크로 일반화하기.
• 이전의 구성법이 왼쪽 작용이 단사적이거나 비열악해야 한다는 제약 조건을 요구하는 문제점을 해결하여, 손이 있는 그래프 대수와 같은 중요한 예를 포함하도록 함.
• Hilbert C*-이중대수에 대한 Abadie, Eilers, Exel의 구성법과 C*-대칭에 대한 Pimsner의 구성법을 하나의 일관된 방법으로 통합하기.
• 왼쪽 작용이 단사적이지 않은 경우에도 원래 C*-대칭의 전체 정보를 유지하는 결과 C*-대수를 확보하기.
• 위상적 그래프 대수와 부분 자동형사상에 의한 외적곱을 특수한 경우로 자연스럽게 포함하는 체계적인 방법 제공하기.

제안 방법

• C*-대수 A 위의 C*-대칭을 오른쪽 힐버트 A-모듈과 *-호모모르피즘 φ_X: A → L(X) (왼쪽 작용)로 정의한다.
• Fock 공간 구성법을 사용하여 C*-대칭의 유일한 표현을 정의하고, 모듈 구조에서 유도된 관계를 강제함으로써 유일한 C*-대수 O_X를 구성한다.
• O_X를 Fock 모듈 F_X 위의 유계형 연산자들의 C*-대수의 *-닫힌 부분대수로 정의하며, 생성자 및 소거자 연산자들로 생성된다.
• 유일성 성질을 사용하여 비단사적이거나 열악한 왼쪽 작용을 가진 경우에도 구성이 가능하도록 하며, 단사성 조건이 필요하지 않은 유일성 성질을 활용한다.
• C*-대칭에서 O_X로의 사상이 단사적이므로, 원래의 대칭은 O_X로부터 복원 가능하다.
• 이 구성법을 사용하여 기존의 예를 복원한다: 왼쪽 작용이 단사일 경우 O_X는 고전적 Cuntz-Pimsner 대수와 일치한다; C*-대칭이 Hilbert C*-이중대수일 경우 Abadie-Eilers-Exel의 결과와 동일한 C*-대수를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cuntz-Pimsner 대수, 부분 자동형사상에 의한 외적곱, 그리고 그래프 대수를 통합하는 단일 C*-대수 구성법이 가능한가?
• RQ2 왼쪽 작용이 비단사적이거나 열악한 C*-대칭으로 Cuntz-Pimsner 구성법을 확장하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 왼쪽 작용이 단사적이지 않은 경우에도 C*-대칭의 C*-대수는 원래 대칭의 전체 정보를 충분히 포함할 수 있는가?
• RQ4 이 새로운 구성법은 Hilbert C*-이중대수와 위상적 그래프에 대한 기존의 구성법과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 단사적이고 비단사적인 경우를 동시에 수용할 수 있는 단일 프레임워크 내에서 자연스럽게 포함되는 유일한 구성법이 존재하는가?

주요 결과

• 제안된 구성법은 Cuntz-Pimsner 대수, Abadie-Eilers-Exel의 외적곱, 그리고 임의의 그래프(손이 있는 그래프 포함)의 그래프 대수를 일반화한다.
• C*-대칭의 왼쪽 작용이 단사일 경우, 결과 C*-대수 O_X는 고전적 Cuntz-Pimsner 대수와 동형이다.
• C*-대칭이 Hilbert C*-이중대수에서 유래할 경우, 이 구성법은 Abadie-Eilers-Exel의 연구에서 얻은 C*-대수와 동일한 결과를 낳는다.
• 임의의 유向 그래프(손이 있는 그래프 포함)의 그래프 대수들은 이 구성법을 통해 자연스럽게 도출된다.
• Drinen과 Kumjian가 정의한 위상적 그래프 대수들은 이곳에서 구성된 C*-대수의 범주에 포함된다.
• C*-대칭에서 O_X로의 사상은 단사적이므로, 왼쪽 작용이 단사적이지 않은 경우에도 원래의 C*-대칭은 O_X로부터 재구성 가능하다.