[논문 리뷰] A convenient category of locally stratified spaces

Stefano Nicotra|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 분할된 공간에 국소적으로 모델링된 공간의 새로운 유형을 도입하며, 단순 복합체 집합과의 가역관계를 가지며 국소적으로 Presentable이고 카르테시안 닫힘 성질을 갖는 범주를 형성한다. 이 논문은 해당 공간들의 전부가 ∞-범주인 단순 복합체 집합을 갖는 부분범주가 분할된 객체를 갖는 범주로서의 구조를 지닌다는 것을 증명하며, 기본 범주와 왼쪽 커버에 관한 핵심 결과를 제시한다. 이는 기본 범주 함수자에 대한 본질적 전성과 특정 조건 하에서 표현과 왼쪽 커버 간의 동치를 포함한다.

ABSTRACT

In this thesis we define the notion of a locally stratified space. Locally stratified spaces are particular kinds of streams and d-spaces which are locally modelled on stratified spaces. We construct a locally presentable and cartesian closed category of locally stratified spaces that admits an adjunction with the category of simplicial sets. Moreover, we show that the full subcategory spanned by locally stratified spaces whose associated simplicial set is an ∞-category has the structure of a category with fibrant objects. We define the fundamental category of a locally stratified space and show that the canonical functor θ_A from the fundamental category of a simplicial set A to the fundamental category of its realisation is essentially surjective. We show that the functor θ_A sends split monomorphisms to isomorphisms, in particular we show that θ_A is not necessarily an equivalence of categories. On the other hand, we show that the fundamental category of the realisation of the simplicial circle is equivalent to the monoid of the natural numbers. To conclude, we define left covers of locally stratified spaces and we show that, under suitable assumptions, the category of representations of the fundamental category of a simplicial set is equivalent to the category of left covers over its realisation.

연구 동기 및 목표

• 분할된 공간에 국소적으로 모델링된 국소적으로 분할된 공간의 새로운 범주를 정의한다.
• 국소적으로 Presentable이고 카르테시안 닫힘 성질을 갖는 국소적으로 분할된 공간의 범주를 구성한다.
• 국소적으로 분할된 공간의 범주와 단순 복합체 집합의 범주 사이의 가역관계를 확립한다.
• 해당 단순 복합체 집합이 ∞-범주인 국소적으로 분할된 공간의 전부 부분범주가 분할된 객체를 갖는 범주로서의 구조를 지닌다는 것을 보인다.
• 국소적으로 분할된 공간의 기본 범주를 정의하고, 그에 대응하는 단순 복합체 집합의 기본 범주와의 관계를 분석한다.

제안 방법

• 분할된 공간에 국소적으로 모델링된 특정 종류의 스트림과 d-공간으로서 국소적으로 분할된 공간을 정의한다.
• 국소적으로 Presentable이고 카르테시안 닫힘 성질을 갖는 국소적으로 분할된 공간의 범주를 구성한다.
• 국소적으로 분할된 공간의 범주와 단순 복합체 집합의 범주 사이의 가역관계를 확립한다.
• 해당 단순 복합체 집합이 ∞-범주인 국소적으로 분할된 공간의 전부 부분범주가 분할된 객체를 갖는 범주로서의 공리를 만족함을 보인다.
• 국소적으로 분할된 공간의 기본 범주를 정의하고, 단순 복합체 집합의 기본 범주에서 그 실현된 공간의 기본 범주로 가는 자연스러운 함자에 대한 분석을 수행한다.
• 국소적으로 분할된 공간의 왼쪽 커버를 정의하고, 적절한 조건 하에서 기본 범주의 표현과 왼쪽 커버 간의 동치를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 Presentable이면서 카르테시안 닫힘 성질을 갖는 국소적으로 분할된 공간의 범주를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 단순 복합체 집합의 기본 범주와 그 실현된 국소적으로 분할된 공간의 기본 범주 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 단순 복합체 집합의 기본 범주에서 그 실현된 공간의 기본 범주로 가는 자연스러운 함자가 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 해당 단순 복합체 집합이 ∞-범주인 국소적으로 분할된 공간의 전부 부분범주가 분할된 객체를 갖는 범주로서의 구조를 유산으로 얻는가?
• RQ5 단순 복합체 집합의 기본 범주의 표현과 그 실현된 국소적으로 분할된 공간 위의 왼쪽 커버 간에 범주적 동치가 존재하는가?

주요 결과

• 국소적으로 분할된 공간의 범주는 국소적으로 Presentable이자 카르테시안 닫힘 성질을 갖는다. 이는 강력한 범주론적 구성이 가능함을 의미한다.
• 국소적으로 분할된 공간의 범주와 단순 복합체 집합의 범주 사이에 가역관계가 존재한다.
• 해당 단순 복합체 집합이 ∞-범주인 국소적으로 분할된 공간의 전부 부분범주가 분할된 객체를 갖는 범주로서의 구조를 지닌다.
• 단순 복합체 집합 A의 기본 범주에서 그 실현된 공간의 기본 범주로 가는 자연스러운 함자 θ_A는 본질적으로 전성이다.
• 함자 θ_A는 분할 단사 사상들을 동치로 보존하지만, 반드시 범주 동치는 아니다.
• 단순 복합체 원환면의 실현된 공간의 기본 범주는 덧셈에 대한 자연수의 모노이드와 동치이다.