[논문 리뷰] A Convergent Numerical Scheme for Scattering of Aperiodic Waves from Periodic Surfaces Based on the Floquet-Bloch Transform

Armin Lechleiter, Ruming Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 단위 세포 내에서 주기적 표면에서 비주기적 파동의 산란 문제를 다루기 위해 플로케-블로흐 변환을 사용하여 무한한 산란 문제를 주기성 파라미터에 따라 변형된 주기적 문제의 집합으로 변환하는 수렴하는 수치적 방법을 제시한다. 이 방법은 주기적 문제에 대한 유한요소 이산화와 적분 기반 역 블로흐 변환을 조합하여 메쉬 크기 $h$와 적분 노드 수 $N$에 대해 각각 최적의 수렴 속도 $O(h^2)$와 $O(N^{-1})$를 달성하며, 엄밀한 오차 분석을 통해 검증된다.

ABSTRACT

Periodic surface structures are nowadays standard building blocks of optical devices. If such structures are illuminated by aperiodic time-harmonic incident waves as, e.g., Gaussian beams, the resulting surface scattering problem must be formulated in an unbounded layer including the periodic surface structure. An obvious recipe to avoid the need to discretize this problem in an unbounded domain is to set up an equivalent system of quasiperiodic scattering problems in a single (bounded) periodicity cell via the Floquet-Bloch transform. The solution to the original surface scattering problem then equals the inverse Floquet-Bloch transform applied to the family of solutions to the quasiperiodic problems, which simply requires to integrate these solutions in the quasiperiodicity parameter. A numerical scheme derived from this representation hence completely avoids the need to tackle differential equations on unbounded domains. In this paper, we provide rigorous convergence analysis and error bounds for such a scheme when applied to a two-dimensional model problem, relying upon a quadrature-based approximation to the inverse Floquet-Bloch transform and finite element approximations to quasiperiodic scattering problems. Our analysis essentially relies upon regularity results for the family of solutions to the quasiperiodic scattering problems in suitable mixed Sobolev spaces. We illustrate our error bounds as well as efficiency of the numerical scheme via several numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 비주기적 입사파가 주기적 표면에 조사될 때 무한 도메인에서의 산란 문제를 풀지 않고도 수치적 방법을 개발하는 것.
• 역 플로케-블로흐 변환을 주기적 산란 문제에 적용한 수치적 방법의 수렴성과 오차 한계를 엄밀히 분석하는 것.
• 주기적 해의 집합이 주기성 파라미터에 대해 약한 미분 가능하며, $1 \leq q < 2$ 에 대해 $L^q$ 적분 가능성을 확립하여 안정적인 수치적 적분을 가능하게 하는 것.
• 제어된 오차 감소를 보이는 수치 예제를 통해 방법의 효율성과 정확성을 입증하는 것.

제안 방법

• 산란 문제는 플로케-블로흐 변환을 통해 재구성되어, 무한 도메인 문제를 단일 주기적 세포 내 주기적 문제의 집합으로 축소한다.
• 원래 문제의 해는 주기성 파라미터 $\alpha \in \mathbb{R}$ 에 대해 적분 규칙을 사용하여 근사된 적분 기반 역 플로케-블로흐 변환을 통해 재구성된다.
• 유한요소 방법을 사용하여 유한한 단위 세포 내 각 주기적 산란 문제를 해결하며, 외부 딜레르트-투-뉴만 연산자를 사용한 변분 공식화를 적용한다.
• 수렴 분석은 혼합 소볼레프 공간에서 해의 집합에 대한 정규성 결과에 기반하며, $q < 2$ 에 대해 파라미터 $\alpha$ 에 대한 약한 도함수의 $L^q$ 적분 가능성을 보장한다.
• 오차 한계는 두 성분을 균형 잡는 방식으로 유도되며, 유한요소 오차($O(h^2)$)와 적분 오차($O(N^{-1})$)를 고려하여 병합 오차 추정식 $\|u_{N,h} - u\|_{L^2} \leq C R(u^i) [h^2 + N^{-1}]$ 을 도출한다.
• 수치적 검증을 위해 $h = c_0 N^{-1/2}$ 를 통해 $h$ 와 $N$ 을 균형 잡고, $L^2$-오차에서 관측된 수렴 속도가 $O(N^{-1})$ 또는 그 이상임을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기적 파동이 주기적 표면에서 산란되는 문제에 대해 플로케-블로흐 변환을 사용하여 무한 도메인에서의 문제를 풀지 않고도 수렴하는 수치적 방법을 유도할 수 있는가?
• RQ2 역 블로흐 변환과 주기적 문제의 유한요소 이산화를 기반으로 한 수치적 방법의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 주기성 파라미터에 대한 해의 집합의 정규성은 적분 근사의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 헬름홀츠 산란 문제의 맥락에서, 유한요소와 적분 근사의 병합에 대해 엄밀히 유도된 오차 한계는 무엇인가?
• RQ5 파장 수와 소스 위치가 변화하는 실용적 예제에서 수치 결과는 이론적 수렴 속도와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 수치적 방법은 $\|u_{N,h} - u\|_{L^2} \leq C R(u^i) [h^2 + N^{-1}]$ 의 병합 오차 추정식을 달성하며, 여기서 $h$ 는 유한요소 메쉬 크기이고 $N$ 은 적분 노드 수이다.
• 메쉬 크기를 $h=0.01$ 으로 고정했을 때, $N \geq 320$ 인 경우 상대 $L^2$-오차가 $O(N^{-1})$ 보다 더 빠르게 감소함을 관측하여, 파라미터 $\alpha$ 에 대한 해의 집합에 대한 정규성 추정의 향상 가능성을 시사한다.
• $N=320$ 인 경우, 유한요소 오차가 적분 오차를 지배하며, 관측된 수렴 속도는 이론적 예측과 일치하는 $O(h^2)$ 이다.
• 메쉬 크기가 충분히 작아지면, 적분 오차가 지배적이며 오차는 $O(N^{-1})$ 으로 감소함을 확인하여 이론적 한계를 확인한다.
• $h = c_0 N^{-1/2}$ 를 사용한 수치 예제에서는 일부 케이스에서 수렴 기울기가 약 $-1.5$ 로 나타나, $O(N^{-1})$ 보다 더 빠른 수렴 속도를 보이며 방법의 강건성을 뒷받침한다.
• 여섯 개의 예제에서 관측된 수렴 행동은 이론적 $O(h^2 + N^{-1})$ 오차 추정과 일치하며, 그림 3은 예측된 속도에 부합하는 상대 $L^2$-오차의 로그 플롯을 보여준다.