[논문 리뷰] A cookbook for finite element methods for nonlocal problems, including quadrature rules and approximate Euclidean balls

Marta D’Elia, Max Gunzburger외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 21.

Numerical methods in engineering참고 문헌 41인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비국소 문제에서 유한요소법(FEM)을 위한 종합적인 조리법을 제시하며, 적분 규칙과 근사 비국소 이웃 영역(특히 유클리드 구의 다각형 근사)을 통해 강성 행렬을 효율적으로 조립하는 데 중점을 둔다. 이 근사 방법이 최적의 수렴 속도를 유지하면서도 계산 비용을 크게 감소시켜, 비국소 모델에 대한 FEM을 메쉬 기반 방법과 경쟁 가능하게 만든다.

ABSTRACT

The implementation of finite element methods (FEMs) for nonlocal models with a finite range of interaction poses challenges not faced in the partial differential equations (PDEs) setting. For example, one has to deal with weak forms involving double integrals which lead to discrete systems having higher assembly and solving costs due to possibly much lower sparsity compared to that of FEMs for PDEs. In addition, one may encounter non-smooth integrands. In many nonlocal models, nonlocal interactions are limited to bounded neighborhoods that are ubiquitously chosen to be Euclidean balls, resulting in the challenge of dealing with intersections of such balls with the finite elements. We focus on developing recipes for the efficient assembly of FEM stiffness matrices and on the choice of quadrature rules for the double integrals that contribute to the assembly efficiency and also posses sufficient accuracy. A major feature of our recipes is the use of approximate balls, e.g., several polygonal approximations of Euclidean balls, that, among other advantages, mitigate the challenge of dealing with ball-element intersections. We provide numerical illustrations of the relative accuracy and efficiency of the several approaches we develop.

연구 동기 및 목표

• 이중 적분과 조밀한 희소성 패턴으로 인해 비국소 모델에서 유한요소 강성 행렬을 조립하는 데 높은 계산 비용과 복잡성이 발생하는 문제를 해결하기 위해.
• 비국소 약한 형태에서 나타나는 이중 적분을 위한 실용적이고 효율적이며 정확한 적분 규칙을 개발하기 위해.
• 기하적 적분을 단순화하고 계산 부담을 줄이기 위해 유클리드 구의 다각형 근사 등을 통한 근사 비국소 이웃 영역을 도입하기 위해.
• 정확도를 훼손하지 않으면서도 2차원 및 3차원 시뮬레이션에서 효율성을 유지할 수 있도록 적분 규칙 선택에 대한 지침을 제공하기 위해.
• 수치적으로 근사 이웃 영역이 최적의 수렴 속도를 유지하면서도 조립 시간을 극적으로 감소시킴을 보여주기 위해.

제안 방법

• 약한 형태에서의 외부 및 내부 적분을 위한 이중 적분 규칙을 사용하여 비국소 FEM 강성 행렬을 체계적으로 조립하는 접근법을 제안한다.
• 유클리드 구의 다각형 근사를 통해 비국소 이웃 영역을 근사하여 적분 영역을 단순화하고 복잡한 구-요소 교차 계산을 피한다.
• 집합의 대칭 차를 사용한 비국소 이웃 영역 근사의 오차 한계를 유도하여, 근사가 향상될수록 수렴함을 보여준다.
• 카우치-슈바르츠 부등식과 $L^2$-노름 추정을 적용하여 정확한 비국소 이항형과 근사 비국소 이항형 간의 일致성 오차를 한계화한다.
• 에너지 노름과 이산 문제의 잘 정의됨을 이용하여 일치성 오차를 해의 총 오차와 연결한다.
• 2차원에서의 수치 실험을 통해 제안된 방법의 정확도와 효율성을 검증하며, 구 이웃 영역의 다양한 다각형 근사 방법을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 FEM 강성 행렬의 조립을 정확도를 희생시키지 않고 어떻게 더 효율적으로 만들 수 있는가?
• RQ2 유클리드 구의 다각형 근사를 사용할 경우 수렴 속도와 이산 시스템의 조건수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비국소 FEM의 이중 적분에 대해 정확도와 계산 비용 사이의 최적 균형을 이루는 적분 규칙은 무엇인가?
• RQ4 근사 비국소 이웃 영역은 기하적 적분의 복잡성을 줄이면서도 최적의 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 이웃 영역 근사로 인해 발생하는 오차는 유한요소 근사 오차와 적분 오차와 비교하여 어떠한가?

주요 결과

• 유클리드 구의 다각형 근사를 비국소 이웃 영역으로 사용할 경우 에너지 노름에서 정확한 비국소 모델과 동일한 최적의 수렴 속도를 달성한다.
• 2차원에서의 수치 결과는 일부 저비용 다각형 근사가 계산 비용을 크게 감소시키면서도 최적의 정확도를 유지함을 보여준다.
• 정확한 비국소 이항형과 근사 비국소 이항형 간의 일치성 오차는 진짜 이웃 영역과 근사 이웃 영역 간의 대칭 차의 최대 측도에 비례하는 항으로 한계화된다.
• 오차 한계는 커널 함수의 Supremum과 대칭 차의 최대 부피에 의존하며, 이는 근사가 향상될수록 수렴함을 보장한다.
• 제안된 방법은 정확한 비국소 FEM과 비슷한 정확도를 달성하지만, 조립 및 해법 비용을 크게 감소시켜 3차원 시뮬레이션에도 적용 가능하게 한다.
• 본 연구는 적분 규칙 선택과 이웃 영역 근사 등을 포함한 실용적인 조리법 기반 가이드를 제공하며, 다른 비국소 모델로의 확장도 가능하다.