[논문 리뷰] A counterexample to the weak density of smooth maps between manifolds in Sobolev spaces

Fabrice Béthuel|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 30인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 π₃(S²) = ℤ가 비자명한데도 불구하고, 차원이 4 이상인 다양체 M에서 2차원 구면 S²로의 매끄러운 매핑이 Sobolev 공간 W^{1,3}(M, S²)에서 순차적으로 약하게 조밀하지 않음을 보여주는 반례를 구축한다. 이 결과는 분지 운반 이론과 호프 편층의 응용에 기반하며, 강한 근사가 실패할 때조차 약한 근사가 실패하는 것을 보여주어 기하 해석학에서의 이전 가정을 도전한다.

ABSTRACT

The present paper presents a counterexample to the sequentially weak density of smooth maps between two manifolds $M$ and $N$ in the Sobolev space $W^{1, p} (M, N)$, in the case $p$ is an integer. It has been shown that, if $p<\\dim M $ is not an integer and the $[p]$-th homotopy group $\\pi_{[p]}(N)$ of $N$ is not trivial, $[p]$ denoting the largest integer less then $p$, then smooth maps are not sequentially weakly dense in $W^{1, p} (M, N)$ for the strong convergence. On the other, in the case $p< \\dim M$ is an integer, examples have been provided where smooth maps are actually sequentially weakly dense in $W^{1, p} (M, N)$ with $\\pi_{p}(N)\ ot = 0$. This is the case for instance for $M= \\mathbb B^m$, the standard ball in $\\mathbb R^m$, and $N=\\mathbb S^p$ the standard sphere of dimension $p$, for which $\\pi_{p}(N) =\\mathbb Z$. The main result of this paper shows however that such a property does not holds for arbitrary manifolds $N$ and integers $p$.Our counterexample deals with the case $p=3$, $\\dim M\\geq 4$ and $N=\\mathbb S^2$, for which the homotopy group $\\pi_3(\\mathbb S^2)=\\mathbb Z$ is related to the Hopf fibration.

연구 동기 및 목표

• p가 정수이고 π_{[p]}(N) ≠ 0일 때, 매끄러운 매핑이 W^{1,p}(M,N)에서 순차적으로 약하게 조밀한가라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• π₃(S²) = ℤ인 임계 경우 p = 3, dim M ≥ 4, N = S²에서 구체적인 반례를 구성하기 위해.
• 강한 근사가 실패할 때조차 약한 근사가 실패함을 보여주어, Sobolev 사상 이론에서의 이전 기대를 도전하기 위해.
• 임계 지수 영역에서 분지 운반 이론 및 조경 이론과의 연결을 수립하기 위해.
• 부산물로 S²가치를 가진 Sobolev 사상에 대한 S³-올림 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 호프 편층을 이용해 W^{1,3}(M, S²) 내의 특이 매핑을 구성하여, 이 매핑이 매끄러운 매핑으로 약하게 근사될 수 없음을 보였다.
• 호프 불변량과 위상수학적 차수 이론을 사용해, 특이 매핑의 호모토피류가 약하게 근사될 수 없음을 입증하였다.
• 특히 임계 지수 α = αₘ를 다루는 분지 운반 이론의 기법을 적용하여 최소 네트워크의 에너지를 통제하였다.
• 이중 입자에 대한 스케일링 추론과 이중 입자 상자에 대한 반복을 통해 네트워크의 최소 α-에너지에 하한을 설정하였다.
• α-에너지의 스케일링 성질과 가역성 조건을 활용해 정규화된 에너지에 대한 로그 하한을 유도하였다.
• 키르히호프 법칙과 그래프 기반 에너지 최소화 기법을 활용해 목적 다변수의 특이성을 모델링하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p가 정수이고 π_{[p]}(N) ≠ 0일 때, W^{1,p}(M,N)에서 매끄러운 매핑의 순차적 약한 조밀성이 보장되는가?
• RQ2 비자명한 호프 불변량을 가진 S²로의 W^{1,3}(M,S²) 내 매핑이 매끄러운 매핑으로 약하게 근사될 수 있는가?
• RQ3 분지 운반 이론은 Sobolev 사상의 약한 근사 문제에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 분지 운반 이론에서의 임계 지수 αₘ은 Sobolev 사상 공간에서 비자명한 장애를 초래하는가?
• RQ5 구축된 반례를 통해 S²가치를 가진 Sobolev 사상에 대한 S³-올림 문제는 해결될 수 있는가?

주요 결과

• 차원 dim M ≥ 4인 W^{1,3}(M, S²)에서 매끄러운 매핑이 순차적으로 약하게 조밀하지 않음을 보여주는 반례를 구성하였다.
• 특이 매핑은 호프 편층에서 유래하며 비자명한 호프 불변량을 가지며, 이로 인해 매끄러운 매핑으로 약하게 근사될 수 없다.
• 임계 영역 α = αₘ에서 네트워크의 최소 α-에너지가 점의 수에 대해 로그적으로 증가함을 보여주어, 비컴팩트성을 암시한다.
• 정규화된 α-에너지 Λ^{m,α}_norm(k)는 k ≥ 1일 때 Λ^{m,α}_norm(k) ≥ C q^{-m} C^α_q ⌊log k / log q⌋ 를 만족하며, 여기서 q = 5이다.
• 이 결과는 W^{1,3}에서 S²가치를 가진 사상에 대한 S³-올림 문제를 매끄러운 올림의 약한 극한을 통해 항상 해결할 수 없음을 암시한다.
• 비자명한 π₃(S²) = ℤ가 존재하는 바에도 불구하고 약한 근사가 실패함을 보여주어, p가 정수일 때 π_{[p]}(N) ≠ 0라는 조건만으로는 약한 조밀성이 보장되지 않음을 입증한다.