[论文解读] A cubic nonconventional ergodic average with Möbius and Liouville weight

El Houcein El Abdalaoui, Xiangdong Ye|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文利用谱分解、Davenport估计以及Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler准则的Wiener-Wintner版本，证明了二阶立方非传统遍历平均在Möbius函数或Liouville函数加权下几乎必然收敛于零。关键结果表明，这些算术函数的自相关性迅速衰减，衰减速率的界为 $ C / \ln(N)^\epsilon $，从而在该设定下支持Sarnak的Möbius正交性猜想。

ABSTRACT

It is shown that the cubic nonconventional ergodic average of order 2 with Möbius and Liouville weight converge almost surely to zero. As a consequence, we obtain that the Cesàro mean of the self-correlations and some moving average of the self-correlations of Möbius and Liouville functions converge to zero.

研究动机与目标

• 建立二阶Möbius与Liouville权重的立方非传统遍历平均几乎必然收敛于零。
• 证明Möbius与Liouville函数的自相关性的Cesàro平均及某些移动平均收敛于零。
• 将Davenport估计以及Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler准则的Wiener-Wintner版本推广至非传统遍历平均的语境。
• 为Möbius与Liouville函数的自相关性提供定量衰减速率估计，表明其沿发散几何序列可求和。
• 通过在动力系统中加权平均下的收敛性证明，支持Sarnak关于Möbius正交性的猜想。

提出的方法

• 利用Nikomeier-Sarnak-Ziegler（NSZE）分解将函数 $ f_1 $ 分解为谱分量、几乎周期分量与弱混合分量。
• 应用双重递归Bourgain定理（DRBT）以控制加权平均中谱分量与几乎周期分量的贡献。
• 使用Davenport估计控制涉及Möbius与Liouville函数的指数和，确保自相关项的衰减。
• 采用Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler准则的Wiener-Wintner版本，建立加权指数和的几乎必然收敛性。
• 应用Birkhoff个体遍历定理控制弱混合分量，表明其在 $ N \to \infty $ 时的贡献趋于零。
• 通过三角不等式与 $ \epsilon $-逼近将所有分量合并，最终得出整体平均几乎必然趋于零的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 二阶立方非传统遍历平均在Möbius或Liouville权重下是否几乎必然收敛于零？
• RQ2 能否证明Möbius与Liouville函数的自相关性的Cesàro平均收敛于零？
• RQ3 这些函数的自相关性的移动平均是否也收敛于零？其沿发散几何序列是否可求和？
• RQ4 Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler准则的Wiener-Wintner版本是否可用于证明加权指数和的几乎必然收敛性？
• RQ5 强Daboussi-Delange条件是否对一般有界乘法函数成立，从而可实现类似的收敛结果？

主要发现

• 二阶Möbius或Liouville权重的立方非传统遍历平均几乎必然收敛于零。
• Möbius函数的自相关性的Cesàro平均满足 $ \frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}\left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\bm{\mu}(n)\bm{\mu}(n+m)\right| \leq \frac{C}{\ln(N)^\epsilon} $，对任意 $ \epsilon > 0 $ 成立。
• Liouville函数具有相同的衰减速率界：$ \frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}\left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\bm{\lambda}(n)\bm{\lambda}(n+m)\right| \leq \frac{C}{\ln(N)^\epsilon} $。
• 由于衰减速率，Möbius与Liouville函数的自相关性沿任意发散几何序列可求和。
• 证明表明弱混合分量的贡献在极限下趋于零，从而确保整体平均几乎必然趋于零。
• 该结果通过在非传统平均与乘法权重下证明Möbius正交性，支持Sarnak猜想。