[논문 리뷰] A deamortization approach for dynamic spanner and dynamic maximal matching

Aaron Bernstein, Sebastian Forster외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 동적 스팬너와 동적 최대 매칭에 대해 처음으로 폴리로그 시간 복잡도를 갖는 고확률 최악의 경우 업데이트 시간 상한을 제시한다. (2k−1)-스패너의 경우 최악의 경우 O(1)k log³(n) 시간을, 최대 매칭의 경우 O(log⁵(n)) 시간을 기록한다. 이는 최악의 경우 기대 시간에서 고확률 최악의 경우 시간으로의 블랙박스 감소 기법을 도입하여, 동적 그래프 환경에서 강력한 각 연산 보장을 갖는 최초의 라스베가스 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Many dynamic graph algorithms have an amortized update time, rather than a stronger worst-case guarantee. But amortized data structures are not suitable for real-time systems, where each individual operation has to be executed quickly. For this reason, there exist many recent randomized results that aim to provide a guarantee stronger than amortized expected. The strongest possible guarantee for a randomized algorithm is that it is always correct (Las Vegas), and has high-probability worst-case update time, which gives a bound on the time for each individual operation that holds with high probability.In this paper we present the first polylogarithmic high-probability worst-case time bounds for the dynamic spanner and the dynamic maximal matching problem.1. For dynamic spanner, the only known o(n) worst-case bounds were O(n3/4) high-probability worst-case update time for maintaining a 3-spanner and O(n5/9) for maintaining a 5-spanner. We give a O(1)k log3(n) high-probability worst-case time bound for maintaining a (2k − 1)-spanner, which yields the first worst-case polylog update time for all constant k. (All the results above maintain the optimal tradeoff of stretch 2k − 1 and O(n1+1/k) edges.)2. For dynamic maximal matching, or dynamic 2-approximate maximum matching, no algorithm with o(n) worst-case time bound was known and we present an algorithm with O(log5(n)) high-probability worst-case time; similar worst-case bounds existed only for maintaining a matching that was (2 + ϵ)-approximate, and hence not maximal.Our results are achieved using a new approach for converting amortized guarantees to worst-case ones for randomized data structures by going through a third type of guarantee, which is a middle ground between the two above: an algorithm is said to have worst-case expected update time α if for every update σ, the expected time to process σ is at most α. Although stronger than amortized expected, the worst-case expected guarantee does not resolve the fundamental problem of amortization: a worst-case expected update time of O(1) still allows for the possibility that every 1/f(n) updates requires Θ(f(n)) time to process, for arbitrarily high f(n). In this paper we present a black-box reduction that converts any data structure with worst-case expected update time into one with a high-probability worst-case update time: the query time remains the same, while the update time increases by a factor of O(log2(n)).Thus we achieve our results in two steps: (1) First we show how to convert existing dynamic graph algorithms with amortized expected polylogarithmic running times into algorithms with worst-case expected polylogarithmic running times. (2) Then we use our black-box reduction to achieve the polylogarithmic high-probability worst-case time bound. All our algorithms are Las-Vegas-type algorithms.

연구 동기 및 목표

• 실시간 시스템과 같은 환경에서 동적 그래프 알고리즘의 최악의 경우 업데이트 시간 보장이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 무작위 동적 그래프 알고리즘에서 평균 기대 시간과 강력한 최악의 경우 성능 간 격차를 메우기 위해.
• 평균 또는 최악의 경우 기대 시간 알고리즘을 고확률 최악의 경우 업데이트 시간을 갖는 알고리즘으로 변환하는 일반적인 방법을 개발하기 위해.
• 동적 스팬너와 동적 최대 매칭에 대해 처음으로 폴리로그 고확률 최악의 경우 업데이트 시간을 달성하기 위해.
• 기본적인 동적 그래프 문제에 대해 강력한 각 연산 보장을 갖는 최초의 라스베가스 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 최악의 경우 기대 업데이트 시간을 새로운 중간 보장으로 도입하여, 평균보다는 강력하지만 고확률 최악의 경우보다는 약한 보장을 제공한다.
• 최악의 경우 기대 업데이트 시간을 갖는 임의의 데이터 구조를 고확률 최악의 경우 업데이트 시간을 갖는 것으로 변환하는 블랙박스 감소 기법을 설계한다.
• 감소 기법을 적용할 때 업데이트 시간에 O(log²(n))의 곱셈 오버헤드가 발생하지만, 쿼리 시간은 유지된다.
• 기존의 평균 기대 폴리로그 시간 알고리즘을 동적 스팬너와 최대 매칭에 대해 최악의 경우 기대 시간으로 변환한다.
• 블랙박스 감소 기법을 사용해 이를 고확률 최악의 경우 업데이트 시간으로 업그레이드하여 폴리로그 상한을 달성한다.
• 모든 알고리즘이 라스베가스 유지되도록 하여 정확성이 확률 1로 보장되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스패너의 스트레치가 2k−1이고 간선 수가 O(n¹⁺¹ᐟᵏ)일 때, 동적 스팬너에 대해 고확률 최악의 경우 업데이트 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ2 간선 수가 폴리로그 시간 내에 유지되는 동적 그래프에서 최대 매칭을 유지를 위해 폴리로그 고확률 최악의 경우 업데이트 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ3 평균 또는 최악의 경우 기대 시간 동적 그래프 알고리즘을 고확률 최악의 경우 업데이트 시간을 갖는 것으로 체계적으로 변환할 수 있는가?
• RQ4 쿼리 시간을 유지하면서 이러한 변환의 업데이트 시간 오버헤드는 얼마인가?
• RQ5 이 방법을 통해 기본 동적 그래프 문제에 대해 강력한 각 연산 보장을 갖는 최초의 라스베가스 알고리즘을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 최적의 O(n¹⁺¹ᐟᵏ) 간선을 갖는 (2k−1)-스패너를 유지하기 위해 고확률 최악의 경우 업데이트 시간 O(1)k log³(n)을 달성한다.
• 동적 최대 매칭의 경우, 고확률 최악의 경우 업데이트 시간 O(log⁵(n))을 제시하며, 이는 최대 매칭에 대해 처음으로 이 상한을 확보한 것이다.
• 논문은 모든 상수 k에 대해 동적 스팬너에 대해 처음으로 폴리로그 고확률 최악의 경우 업데이트 시간 상한을 제공하여 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• 블랙박스 감소 기법은 업데이트 시간을 O(log²(n)) 배로 증가시키지만 쿼리 시간은 유지되며, 이는 최악의 경우 기대 시간 알고리즘을 고확률 최악의 경우로 변환하는 데에 유용하다.
• 모든 알고리즘은 라스베가스로 유지되어 정확성이 확률 1로 보장되며, 각 연산에 대해 강력한 성능 보장을 제공한다.
• 이 방법은 다른 동적 그래프 문제로 일반화 가능하여, 랜덤화된 데이터 구조의 평균화를 위한 새로운 프레임워크를 제공한다.