[논문 리뷰] A degeneration of stable morphisms and relative stable morphisms

Jun Li|ArXiv.org|2000. 09. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정규 교차 분열을 가진 분열 대상 스킴과 상대 쌍에 대해 확장된 분열의 스택을 도입하여 도널드슨-플로어이론의代수기하학적 유사체를 구성한다. 이는 이러한 스택으로 향하는 안정형 및 상대 안정형 사상의 모듈리 공간이 분리되고 올바른 데릴레-무담 스택임을 증명하며, 상대 그로모프-위튼 불변량을 정의하고 정규 교차 분열을 가진 쌍의 불변량으로써 부드러운 다양체의 불변량에 대한 분열 공식을 증명하는 기초를 마련한다.

ABSTRACT

The introduction is modified in the revised version. Also, many typos and errors were corrected. Let $W o C$ be degeneration of smooth varieties so that the special fiber has normal crossing singularity. In this paper, we first constructed the stack of expanded degenerations of $W$. We then constructed the moduli space of stable morphisms to this stack, which provides a degeneration of the moduli spaces of stable morphisms associated to $W/C$. Using similar technique, for a pair of smooth variety and a smooth divisor $(Z,D)$, we constructed the stack of expanded relative pairs and then the moduli spaces of relative stable morphisms to $(Z,D)$. In the subsequent paper we will construct the relative Gromov-Witten invariants and prove a degeneration formula of Gromov-Witten invariants.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간의 분열에 대해 도널드슨-플로어이론의 대수기하학적 유사체를 개발한다.
• 정규 교차 특이점을 가진 스킴의 가속 가닥에 대해 확장된 분열의 스택을 구성한다.
• 이 확장된 분열 스택으로 향하는 안정형 사상의 모듈리 공간을 정의하고, 그들의 올바름과 분리성을 증명한다.
• 상대 그로모프-위튼 불변량을 구성하고, 부드러운 다양체의 불변량에 대한 분열 공식을 증명하기 위한 기초를 마련한다.
• 부드러운 다양체 Z와 그 안에 부드러운 분열 D를 가진 상대 쌍 (Z,D)로 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• 정규 교차 특이점을 가진 중심 근처가 정규 교차 특이점을 가진 부드러운 다양체의 분열 W/C에 대해 확장된 분열의 스택을 구성한다.
• 확장된 분열 스택 W로 향하는 안정형 사상의 모듈리 함수를 정의하고, 이것이 분리되고 올바른 데릴레-무담 스택임을 증명한다.
• 부드러운 다양체 Z와 부드러운 분열 D를 가진 쌍 (Z,D)에 대해 확장된 상대 쌍의 스택을 구성한다.
• 확장된 상대 쌍 스택으로 향하는 상대 안정형 사상의 모듈리 함수를 정의하고, 이것이 분리되고 올바른 데릴레-무담 스택임을 증명한다.
• 확장된 분열의 기하학을 사용하여 분열된 근처에서의 안정형 사상과 구성요소 위의 상대 사상 사이의 접합 자료와 자동형군 분석을 통해 관계를 규명한다.
• 표시점에 대한 Eq(η)의 작용과 구성요소의 자동형군을 통해 모듈리 공간 간의 사상의 차수를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 교차 특이점을 가진 분열된 목표 스킴에 대해 안정형 사상의 올바르고 분리된 모듈리 공간을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 그로모프-위튼 불변량의 분열 맥락에서 도널드슨-플로어이론의 대수기하학적 유사체는 무엇인가?
• RQ3 부드러운 분열을 가진 쌍 (Y_i, D_i)에 대해 상대 안정형 사상을 어떻게 정의하고, 그 모듈리 공간을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 분열에서의 부드러운 근처의 그로모프-위튼 불변량과 구성요소의 상대 불변량 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 확장된 분열의 기하학적 구성에서 그로모프-위튼 불변량의 분열 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• W/C의 확장된 분열 스택으로 향하는 안정형 사상의 모듈리 함수는 C 위에서 분리되고 올바른 데릴레-무담 스택이다.
• 확장된 상대 쌍 (Z,D)의 스택으로 향하는 상대 안정형 사상의 모듈리 함수는 분리되고 올바른 데릴레-무담 스택이다.
• 모듈리 공간 간의 사상 Φη는 순수한 차수 |Eq(η)|를 가진 유한하고 에탈이다. 여기서 Eq(η)는 분해 유형 η를 유지하는 순열의 군이다.
• 사상 Φη의 차수는 군 Eq(η)의 크기와 구성요소의 자동형군에 의해 결정되며, 공식은 deg(Φη) = |Eq(η)|이다.
• 이 구성은 그로모프-위튼 불변량의 분열 공식을 위한 기하학적 프레임워크를 제공하며, 후속 논문 [Li]는 완벽한 방해 이론과 가상 사이클을 통해 GW(W_t) = GW(Y₁,D₁) ∗ GW(Y₂,D₂)를 증명할 것으로 기대된다.
• 이 방법은 층 이론적 분열에서 국소적으로 자유롭지 않은 문제를 피하기 위해 확장된 분열을 사용하며, 곡선과 표면의 결과를 일반화한다.