[논문 리뷰] A fast eikonal equation solver using the Schrodinger wave equation

Karthik S. Gurumoorthy, Peter, Adrian M.외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 슈뢰딩거 파동 방정식 체계를 활용하여 이케오날 방정식을 해결하는 새로운 선형 프레임워크를 제안한다. 여기서 이케오날 해는 작고 비영인 플랑크 상수 ($\hbar$)에서 선형 스크린드 푸아송 방정식의 극한으로 나타난다. 이 방법은 명시적인 점성 해 구축을 피하고, 푸리에 변환 기반의 섭동 이론 또는 희소 선형 해법기를 사용하며, 형태에서의 그림자 추출, 경로 계획, 혈관 세분화 응용 분야에서 빠른 군집법과 빠른 스위핑 방법과 경쟁 가능한 성능을 달성한다.

ABSTRACT

We use a Schrödinger wave equation formalism to solve the eikonal equation. In our framework, a solution to the eikonal equation is obtained in the limit as Planck's constant $\hbar$ (treated as a free parameter) tends to zero of the solution to the corresponding linear Schrödinger equation. The Schrödinger equation corresponding to the eikonal turns out to be a \emph{generalized, screened Poisson equation}. Despite being linear, it does not have a closed-form solution for arbitrary forcing functions. We present two different techniques to solve the screened Poisson equation. In the first approach we use a standard perturbation analysis approach to derive a new algorithm which is guaranteed to converge provided the forcing function is bounded and positive. The perturbation technique requires a sequence of discrete convolutions which can be performed in $O(N\log N)$ using the Fast Fourier Transform (FFT) where $N$ is the number of grid points. In the second method we discretize the linear Laplacian operator by the finite difference method leading to a sparse linear system of equations which can be solved using the plethora of sparse solvers. The eikonal solution is recovered from the exponent of the resultant scalar field. Our approach eliminates the need to explicitly construct viscosity solutions as customary with direct solutions to the eikonal. Since the linear equation is computed for a small but non-zero $\hbar$, the obtained solution is an approximation. Though our solution framework is applicable to the general class of eikonal problems, we detail specifics for the popular vision applications of shape-from-shading, vessel segmentation, and path planning.

연구 동기 및 목표

• 이케오날 방정식의 비선형성을 선형 슈뢰딩거 파동 방정식의 극한으로 간주함으로써, 새로운 선형적 접근법을 개발함으로써 비선형 이케오날 방정식을 해결하는 것.
• 기존 직접 이케오날 해법기에서 일반적으로 요구되는 명시적 점성 해 구축의 필요성을 제거하는 것.
• 형태에서의 그림자 추출, 경로 계획, 혈관 세분화와 같은 다양한 시각 문제에 적용 가능한 수치적으로 안정적이고 효율적인 프레임워크를 제공하는 것.
• 작은 $\hbar$에서 선형 스크린드 푸아송 방정식의 해가 진짜 이케오날 해에 대한 정확한 근사값을 제공함을 보여주는 것.
• 표준 선형 해법기와 FFT 기반 기법을 사용하여 빠른 군집법과 빠른 스위핑 방법에 비해 계산적으로 효율적인 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 작은 비영인 $\hbar$를 갖는 선형 슈뢰딩거 방정식으로 이케오날 방정식을 극한으로 표현함으로써, 일반화된 스크린드 푸아송 방정식을 유도하는 것.
• 스クリ린드 푸아송 방정식을 섭동 이론을 통해 해결함으로써, 강제 함수가 유계이면서 양수일 경우 수렴성을 보장하고, FFT를 통해 $O(N\log N)$ 복잡도를 확보하는 것.
• 유한 차분법을 사용하여 라플라스 연산자를 이산화함으로써, 표준 희소 해법기를 사용해 해결할 수 있는 희소 선형 시스템을 도출하는 것.
• 선형 시스템을 푸는 데서 얻은 스칼라 장의 지수를 취함으로써 이케오날 해를 복원하는 것.
• 형태에서의 그림자 추출에 응용하기 위해, 이미지 강도 기울기와 알려진 높이 점수에서 강제 함수를 유도하는 것.
• 적절한 경계 조건과 강제 함수를 정의함으로써, 경로 계획 및 혈관 중심선 추출에 이 방법을 적응시키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이케오날 방정식은 선형 슈뢰딩거 유형 방정식으로 변환함으로써 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 작은 $\hbar$에서 스크린드 푸아송 방정식의 해가 이케오날 방정식의 점성 해에 대해 타당한 근사값을 제공하는가?
• RQ3 FFT 기반 섭동 접근법이 시각 응용 분야에서 빠른 군집법과 빠른 스위핑 방법과 비교해 유사한 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ4 희소 선형 시스템 접근법이 형태에서의 그림자 추출 및 경로 계획 분야에서 기존 이케오날 해법기와 비교해 정확도와 효율성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 선형 프레임워크는 컴퓨터 시각 및 제어 이론 분야의 다른 이케오날 기반 문제로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 형태에서의 그림자 추출에서 제안된 방법은 높은 재구성 정확도를 달성하였으며, 기울기 크기 오차가 0.203321으로, 테스트 케이스에서 빠른 스위핑(0.199234)과 빠른 군집법(0.237820)을 능가하였다.
• 섭동 기반 방법은 강제 함수가 유계이면서 양수일 경우 수렴성을 보장하며, FFT 기반으로 $O(N\log N)$ 복잡도를 확보하여 안정적이고 효율적인 해법을 가능하게 하였다.
• 희소 선형 시스템 접근법은 표준 희소 해법기를 사용해 간편하고 강력한 구현이 가능하며, 다양한 응용 분야에서 높은 정확도를 유지하였다.
• 명시적인 점성 해 구축 없이도 자연스럽게 점성 해를 포함함으로써, 기존 비선형 해법기 대비 구현이 간소화되었다.
• 혈관 세분화 및 경로 계획 분야에서, 동일한 선형 프레임워크를 사용하여 중심선과 최적 경로를 성공적으로 복원하였다.
• 강제 함수와 경계 조건의 간단한 수정만으로도 이 프레임워크는 제어 이론 및 중앙축 계산과 같은 다른 이케오날 문제로 일반화 가능하였다.