[논문 리뷰] A Finite Test for the Linearizability of Two-Input Systems by a Two-Dimensional Endogenous Dynamic Feedback

Conrad Gstöttner, Bernd Kolar외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 13.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 입력 비선형 제어 시스템이 최대 차수 2인 내부 동적 피드백을 통해 선형화 가능한지를 판단하기 위한 유한하고 알고리즘적인 테스트를 제시한다. 이 방법은 순차적으로 입력 변환과 연장(Prolo ngation)을 적용함으로써 평탄한 출력을 체계적으로 유도하며, 결과적으로 시스템이 정적 피드백 선형화 가능해지도록 한다. 핵심 기여는 평탄한 출력을 식별하고 유한한 동적 피드백을 통해 선형화 가능성을 확인할 수 있는 구축 가능하고 검증 가능한 절차를 제공하는 것으로, 기존의 일중 및 이중 연장 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We propose an algorithmic test to check whether a two-input system is linearizable by an endogenous dynamic feedback with a dimension of at most two. This test furthermore provides a procedure for systematically deriving flat outputs for this class of systems.

연구 동기 및 목표

• 최대 차수 2인 내부 동적 피드백을 사용하여 두 입력 시스템의 선형화 가능성을 검증하고 알고리즘적으로 테스트할 수 있는 방법을 개발한다.
• 해당 시스템에 대한 평탄한 출력을 체계적으로 도출하는 절차를 제공한다.
• 기존의 일중 또는 이중 연장에 의한 정적 피드백 선형화 결과를 더 넓은 범주로 확장한다.
• 기존 문헌에서 표준 연장 방법이 실패하는 경우, 특히 [13]에서 제시된 제약 조건이 적용되지 않는 케이스를 해결한다.

제안 방법

• 원래 시스템에 대해 입력 변환과 연장을 순차적으로 적용하여 정적 피드백 선형화 가능성을 달성한다.
• R은 최고 도수의 미분 순서를 나타내는 다중 인덱스이며, 평탄한 출력 y[R] = (y1, y1₁, ..., y1ᵣ₁, y2, y2₁, ..., y2ᵣ₂)를 기반으로 하는 매개변수화 맵을 사용한다.
• 평탄한 출력의 존재 여부를 확인하기 위해 포함성 조건과 PAI(부분적으로 애फ인 입력) 표현의 구조를 검증한다.
• d = #R − n ≤ 2인 시스템은 (x,u)-평탄하며, 적절히 선택된 입력에 대해 d중 연장을 통해 정적 피드백 선형화 가능하다는 사실을 활용한다.
• 연장된 시스템이 d ≤ 1인 선형화 출력을 갖는지 여부를 검증함으로써 평탄한 출력의 존재 여부를 확인하는 절차에 기반한다.
• 평탄한 출력 성분의 상대 차수 kⱼ를 기반으로 한 애프린 입력 변환 ¯u₁ = Lᵏⱼᶠϕⱼ(x,u)을 사용하여 연장에 적합한 새로운 입력을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수 2인 내부 동적 피드백을 통해 두 입력 비선형 시스템이 선형화 가능한지를 판단할 수 있는 유한하고 알고리즘적인 테스트가 가능한가?
• RQ2 d = #R − n ≤ 2인 시스템이 (x,u)-평탄하며, 연장을 통해 정적 피드백 선형화 가능해지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 무한한 분기나 자유도를 도입하지 않고도 이러한 시스템에 대해 평탄한 출력을 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 이전 연구에서 제약 조건이 강하게 적용되는 경우(예: [13]에서의 가정), 이 방법은 그러한 시스템을 다룰 수 있는가?
• RQ5 PAI 표현은 비애프린 입력을 식별하는 데 어떤 역할을 하는가? 특히 그 매개변수화가 y[R−1]에만 의존하는 경우에 대해 설명하라.

주요 결과

• 알고리즘은 최대 차수 2인 내부 동적 피드백을 통한 두 입력 시스템의 선형화 가능성을 검증할 수 있는 유한하고 검증 가능한 테스트를 제공한다.
• d = #R − n ≤ 2인 시스템은 보장되어 (x,u)-평탄하며, 적절히 선택된 입력에 대해 d중 연장을 통해 정적 피드백 선형화 가능하다.
• 연장된 시스템의 선형화 출력은 원래 시스템의 평탄한 출력이며, d = #R − n의 값은 필요한 도수의 차수를 나타낸다.
• 비애프린 입력이 PAI 표현에서 y[R−1]에만 의존하도록 보장함으로써, 유한한 검색 과정을 가능하게 하여 평탄한 출력을 체계적으로 도출한다.
• 이전 연구에서 다루지 못한 케이스, 예를 들어 [13]에서 제시된 바와 같이 가정 2가 완전한 해를 배제하는 경우에도 적용 가능하다.
• 기존의 구축 방법이 자유도를 도입하는 것과 달리, 이 알고리즘은 쉽게 검증 가능한 시스템 성질에 기반한 결정론적 단계를 강제함으로써 무한한 분기 가능성을 피한다.