[논문 리뷰] A FORTRAN Package for Efficient Multi-Accuracy Computations of the Faddeyeva Function and Related Functions of Complex Arguments.

Mofreh R. Zaghloul|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 04.

Numerical Methods and Algorithms인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 복소수 변수를 가진 Faddeyeva 함수 w(z) 및 관련 특수함수인 erf(z), erfc(z), erfcx(z), Z(z), Daw(z), 그리고 Fresnel 적분을 고정밀도로 효율적으로 계산할 수 있는 Fortran 패키지를 제시한다. 기존의 Fortran 및 C++ 구현체 대비 낮은 정밀도에서 특히 최대 5배의 성능 향상을 달성하며, Mathematica 및 MATLAB 벤치마크와의 비교를 통해 높은 정밀도를 유지한다.

ABSTRACT

We present a Fortran package for efficient multiaccuracy computations of the Faddeyeva function w(z), and related functions of the complex argument z=x+iy such as the error function erf(z), complementary error function erfc(z), imaginary error function erfi(z), scaled complementary error function, erfcx(z), the plasma dispersion function Z(z), Dawsons function Daw(z), and Fresnel integrals S(z) and C(z). Depending on the case studied, targeted accuracy, and the precision used, efficiency improvements up to more than a factor of five, compared to the Fortran version of Algorithm 916 are obtained. Compared to the free/open source package developed in C++ at the Massachusetts Institute of Technology (MIT) and depending on the case studied, the present algorithm can be up to a factor of two faster for the 13 significant-digits accuracy and up to a factor of five faster for the four significant figures accuracy. The accuracy of computing other related special functions is assessed through comparison with results obtained from the Mathematica software package and the Matlab Special Functions of Applied Mathematics (SFAM) in the symbolic toolbox.

연구 동기 및 목표

• 복소수 변수에 대한 Faddeyeva 함수 w(z) 및 관련 특수함수의 효율적이고 정밀한 계산을 가능하게 하는 Fortran 기반 소프트웨어 패키지를 개발하는 것.
• 다중 정밀도 수준에서 기존의 Fortran 및 C++ 구현체 대비 계산 효율을 향상시키는 것.
• Mathematica 및 MATLAB의 SFAM 툴박스와 같은 확립된 기호 계산 도구와의 비교를 통해 결과의 정밀도를 보장하는 것.
• 정밀도를 제어할 수 있는 복소수 특수함수를 필요로 하는 다양한 과학 및 공학적 응용 분야를 지원하는 것.

제안 방법

• 복소수 변수 평가를 위한 알고리즘적 개선을 활용한 Fortran을 이용한 Faddeyeva 함수 w(z) 및 관련 함수의 최적화된 알고리즘 구현.
• 수치적 안정성과 속도를 확보하기 위해 복소평면의 다양한 영역에 맞게 조정된 渐近 전개, 유리 근사, 급수 전개를 사용하는 것.
• 정밀도 목표에 따라 최적화된 성능을 보이도록, 4에서 13자리 유의숫자까지의 다중 정밀도 수준을 지원하도록 알고리즘을 적응시킨 것.
• 다양한 입력 영역에서 정밀도를 유지하기 위한 오차 제어 메커니즘과 정밀도 인식 계산 전략을 통합한 것.
• 성능 향상을 정량화하기 위해 Algorithm 916의 Fortran 버전과 MIT의 C++ 오픈소스 패키지와의 벤치마크를 실시한 것.
• 특수함수의 기호 툴박스에서의 출력 결과와의 비교를 통해 계산된 결과를 검증한 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fortran 환경에서 Faddeyeva 함수 평가의 계산 효율성을 다중 정밀도 수준에서 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 Fortran 버전의 Algorithm 916 및 MIT C++ 오픈소스 구현체 대비 어떤 성능 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ3 erfc(z), erfcx(z), Z(z)와 같은 관련 특수함수를 계산할 때 제안된 패키지가 얼마나 높은 정밀도를 유지하는가?
• RQ4 특히 渐近 영역 및 진동 영역에서 알고리즘이 복소평면의 다양한 영역에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 고정밀 기호 계산 시스템과의 검증을 통해 패키지가 일관되고 신뢰할 수 있는 결과를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 Fortran 패키지는 정밀도 목표와 정밀도에 따라 Fortran 버전의 Algorithm 916 대비 5배 이상의 속도 향상을 달성한다.
• 13자리 유의숫자 정밀도에서, 패키지는 MIT C++ 오픈소스 구현체 대비 최대 2배 빠른 성능을 보인다.
• 4자리 유의숫자 정밀도에서, 동일한 C++ 패키지 대비 성능 향상이 최대 5배에 이른다.
• erfc(z), erfcx(z), 그리고 Fresnel 적분과 같은 관련 함수의 계산값 정밀도는 Mathematica 및 MATLAB의 SFAM 툴박스 결과와 일관됨을 검증하였다.
• 빠른 진동 및 渐近 행동을 보이는 영역을 포함하여 전체 복소평면에서 높은 수치적 안정성과 정밀도를 유지한다.
• 사용자가 정밀도 수준을 동적으로 선택할 수 있도록 효율적인 다중 정밀도 계산을 지원하며, 성능 저하가 최소화된다.