[논문 리뷰] A fractional space-time optimal control problem: analysis and discretization\

Harbir Antil, Enrique Otárola외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 31.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 공간 분수형 확산(카파레lli-실베스트레 확장에 의해)과 카푸토 분수형 시간 도함수를 포함하는 포물형 편미분방정식을 포함하는 선형-제곱 최적 제어 문제를 연구한다. 일차원 유한요소와 후진 오일러 시간 이산화를 사용한 조각별로 일정한 제어를 포함하는 완전 이산화 방법을 제안하며, 수렴성과 γ=1 및 s∈(0,1)에 대해 최적 비율을 갖는 사전 오차 추정을 증명한다.

ABSTRACT

We study a linear-quadratic optimal control problem involving a parabolic equation with fractional diffusion and Caputo fractional time derivative of orders $s \in (0,1)$ and $γ\in (0,1]$, respectively. The spatial fractional diffusion is realized as the Dirichlet-to-Neumann map for a nonuniformly elliptic operator. Thus, we consider an equivalent formulation with a quasi-stationary elliptic problem with a dynamic boundary condition as state equation. The rapid decay of the solution to this problem suggests a truncation that is suitable for numerical approximation. We consider a fully-discrete scheme: piecewise constant functions for the control and, for the state, first-degree tensor product finite elements in space and a finite difference discretization in time. We show convergence of this scheme and, for $s \in (0,1)$ and $γ= 1$, we derive a priori error estimates.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 분수형 도함수를 포함하는 선형-제곱 최적 제어 문제에 대한 분석 및 수치적 방법 개발.
• 카파레lli-실베스트레 확장을 사용하여 분수형 확산과 시간 도함수의 비국소성 문제를 극복하고, 동적 경계 조건을 갖는 준정적 타원형 방정식으로 문제를 재구성.
• 조각별 일정한 제어와 공간에서의 일차 유한요소, 시간에서의 후진 오일러 이산화를 조합한 완전 이산화 방법 설계.
• 이산화 방법의 수렴성과 상태, 제어, 수반 변수에 대한 사전 오차 추정을 확립.
• 공간과 시간에서의 수렴 속도에 대한 이론적 결과를 수치 실험을 통해 검증.

제안 방법

• 카파레lli-실베스트레 확장을 사용하여 분수형 라플라스 연산자를 반무한 실린더 위에서의 딜레르트-노이만 맵으로 변환함으로써 분수형 공간-시간 최적 제어 문제를 재구성.
• 확장된 영역에서 동적 경계 조건을 갖는 준정적 타원형 문제를 사용하여 상태 방정식을 표현함으로써 표준 유한요소 방법을 통한 수치적 처리 가능.
• 공간과 시간에서 조각별 일차 함수로 제어를 이산화하고, 상태 및 수반 변수는 공간에서 연속적인 조각별 선형 유한요소와 시간에서 후진 오일러를 사용.
• 확장된 해가 y-방향에서 급격히 감쇠하는 것을 고려한 절단 전략을 적용하여 문제의 계산 가능성을 확보.
• 가중 소볼레프 공간과 안정성 분석을 사용하여 제어 및 상태 변수에 대한 사전 오차 추정을 유도.
• 정확한 강성 행렬 및 질량 행렬 조립을 사용하여 MATLAB에 알고리즘을 구현하고, 프로젝션 BFGS와 아르미조 선색색색을 사용하여 최적화를 해결.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 분수형 도함수를 포함하는 포물형 최적 제어 문제는 어떻게 재구성하여 수치적 해법을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 특히 공간 및 시간 이산화에 관해, 이러한 문제에 대한 완전 이산화 유한요소 방법의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ3 시간 도함수가 γ=1인 카푸토 도함수이고 공간 확산이 s∈(0,1)인 분수형일 때, 제어 및 상태 변수에 대해 유도할 수 있는 사전 오차 추정은 무엇인가?
• RQ4 공간 및 시간에서의 수렴 속도는 분수형 매개변수 s와 γ에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 확장된 차원에서 이방향 메쉬 정렬을 사용할 경우, 제안된 수치적 방법이 최적의 수렴 속도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 완전 이산화 방법은 분수형 공간-시간 최적 제어 문제의 진짜 해로 수렴한다.
• γ=1 및 s∈(0,1)일 때, 제어에 대해 L²(0,T;L²(Ω))-노름에서 최적 수렴 속도 𝒪(N⁻¹/³)를 달성한다. 여기서 N은 자유도 수이다.
• 상태 변수는 𝒪(N⁻²/³)의 수렴 속도를 보이며, 이는 s∈(0,1)에 대해 이론적 추정 𝒪(N⁻⁽¹⁺ˢ⁾/³)과 일치하지만, 이 속도에 대한 완전한 이론적 근거는 향후 연구에 남겨져 있다.
• 시간에 있어서 제어 오차는 최적 속도 𝒪(𝒦⁻¹)로 감소하며, 이는 후진 오일러 방법의 기대 정확도 순서를 확인한다.
• 수치 실험을 통해 s∈(0.2,0.8)의 다양한 값에서 공간 및 시간에서의 이론적 수렴 속도가 확인되었으며, 방법의 강건성을 입증한다.
• 확장된 차원(즉, y-방향)에서 이방향 메쉬 정렬을 사용하는 것이, 이론적으로 예측된 바와 같이 최적 수렴 속도를 회복하는 데 필수적이다.